学习SVM（四） 理解SVM中的支持向量（Support Vector）

咱们在开始接触SVM时确定听到过相似这样的话，决定决策边界的数据叫作支持向量，它决定了margin究竟是多少，而max margin更远的点，其实有没有无所谓。 而后通常会配一张图说明一下哪些是支持向量（Support Vector），这个图在以前的学习SVM（二） 如何理解支持向量机的最大分类间隔里面就有，这里不在重复贴了。

可是问题的关键是，这些Support Vector是怎么被肯定的呢？ 在学习SVM（三）理解SVM中的对偶问题计算获得新的优化目标：

注意这里的约束条件有n+1个，以后只须要根据Data（x），Label（y）求解出知足条件的拉格朗日系数a，并将a带回求得w和b，因而就有了最后的决策边界。（w，b，x，y，a都是向量）

注意：在上面b的公式中，i=1,2,…,n。可是j却没有给值，这是由于j是任意一个支持向量均可以。

在这里对w和b的公式的推导作一个简短说明，w是经过拉格朗日求偏导后推出的；在学习SVM（二） 如何理解支持向量机的最大分类间隔中咱们知道最大间隔为：

那么支持向量到决策边界的距离为：

同时根据点到直线的距离公式有：

超平面（w,b）可以将训练样本正确分类，即对于

所以去掉绝对值能够获得关于b的公式。

而非支持向量的数据就在求解参数a，w，b的过程当中，前面的参数w求得的结果会为0，这样就知足了以前的说法，只有支持向量在影响着决策边界的肯定，举个例子：

上图中有3个点，x1(3,3)，x2(4,3)，x3(1,1)，对应的：y1=y2=1，y3=-1。 很显然x1和x3是两个支持向量，在决策平面的两侧，咱们带入到上面的公式求解一下： 因为两个求和公式（n=3），因此括号里面的是项会有9个，能够理解为两个for循环嵌套啊（哈~哈~），可是显然这9项里面是有重复的，由于a1a2 = a2a1，因此最后会剩下6项： a1a1，a2a2，a3a3，2a1a3，2a1a2，2a2a3，举个例子肯定前面的系数： Ca1a2 = [(x1)(x2)y1y2]a1a2 C=2*(3,3)(4,3)(1)=2(12+9)=42

因此最后的结果以下：

由约束条件获得：a3=a1+a2，带入到min中能够求得一个关于a1 和a2的函数：

要求它的最小值，求偏导啊~

最后求解获得： a1 = 1.5 a2 = -1

而a2 = -1的点不满于a2>0的条件，因此最小值在边界上取得。边界状况要么是a1=0，要么是a2=0，因而： a1=0时，咱们应该把a1的值往s对a2的偏导里面带入： a2=2/13 （知足条件） 此时：

a2=0时，咱们应该把a2的值往s对a1的偏导里面带入： a1=1/4 （知足条件） 此时：

显而后面的结果更小，因此： a1 = 1/4 a2 = 0 a3 = 1/4

到这里就能验证上面的结论了，a1和a3是x1和x3的系数，x1和x3是支持向量，而x2不是，因此前面的系数是0。由于根据w求解公式，a2=0，因此x2对w权的最后取值没有影响，因此x2不是支持向量。

最后一步，带到上面的式子中求w，b：

w1=w2=0.5 对于支持向量x1,计算b的值：

对于非支持向量x2,计算b的值：

显然，因为b的公式由支持向量与决策平面的距离推导获得，因此x2的计算结果是错误的。 因而获得最后的决策边界为： 0.5x1+0.5x2+2=0

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