惟一二叉搜索树

原题

　　Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?
　　For example,
　　Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

 

 

题目大意

　　给定一个n个结点的二叉搜索树，求一共有多少个不一样类型的二叉搜索树。

解题思路

　当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;
　　当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点能够分红（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。
　　当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点能够分红（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。
　　以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。
　　令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）知足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　另类递归式：
　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

　　递推公式
　　f(k)*f(n-1-k)：f(k)表示根结点左子树有k个结点，其有的形状是f(k)，f(n-1-k)表示右子树有n-1-k个结点
　　f(n) = 2*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + f(2)*f(n-3) + f(3)*f(n-4) + … +f(n-2)*f(1)

代码实现

算法实现类

public class Solution {

    public int numTrees(int n) {

        if (n <= 0) {
            return 0;
        } else if (n == 1) {
            return 1;
        }

        int[] result = new int[n + 1];
        result[0] = 0;
        result[1] = 1;


        // 求f(2)...f(n)
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // 求f(i)
            result[i] = 2 * result[i - 1];
            for (int j = 1; j <= i - 1 ; j++) {
                result[i] += result[j]*result[i - 1 -j];
            }

        }
        return result[n];
    }
}