问题描述

有n件物品和一个容量为v的背包，求能够获得的最大价值。其中重量是w[i]，价值是v[i]。ios

例  4 5数组

      1 2函数

      2 3优化

      3 4spa

      2 2.net

01背包问题的经常使用的f[v]=max(f[v]，f[v-w[i]]+v[i])的解法是由树递归得来的，这里从头推演一遍。3d

递归求解：

咱们能够这样理解，咱们从第一个物品开始，每一个物品都有两种状况：选或不选，因而就有下图：code

今后咱们能够设函数res（int i，int j）(i表示第几个物品，j表示背包剩余容量)，不断的判断选仍是不选，不断地递归调用，直到i=n+1时，就开始回溯，逐层返回获得的最大价值，最终得到背包能装下的最大价值。blog

由此咱们能够写出递归求解的代码：递归

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn=101;
int w[maxn],v[maxn],n,w1;
int res(int i,int j)
{
    int ans=0;   //保存每一步求得的当前最大价值
    if(i==n+1)
        return ans;   // 当到n+1个物品时就开始回溯
    if(w[i]>j)
        ans=res(i+1,j);  //若当前物品的重量大于背包容量时，就没法放入背包
    else
       ans=max(res(i+1,j),res(i+1,j-w[i])+v[i]);//若能放下，则取放入或不放入两种状况中较大值
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&w1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    cout<<res(0,w1)<<endl;
    return 0;
}

可是，咱们能够知道这样求得复杂度O(n)=2^n，此时已经超时了，因此咱们须要优化代码。

咱们从上图中能够发现，在每一步都有不少重复调用的过程（用红笔画出的格子都是须要重复调用的），因此这样会有不少的重复的计算，咱们能够发现出去相同的在每一层最多会有v+1个，由于就只能会有res(i,5)、res(i，4)、res(i，3)、res(i，2)、res(i，1)、res(i，0)这几种状况，因此除去相同的以后的复杂度为n*v，复杂度大大下降。

咱们能够经过引入dp数组来保存计算过的结果，而后每次调用时都判断该状态是否已经被计算过了，若计算过了就能够直接返回结果。

此时的代码为：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn=101;
const int maxw=10003;
int w[maxn],v[maxn],n,w1,dp[maxn][maxw]; //引入dp数组保存已经计算过的结果
int res(int i,int j)
{    
    //判断这种状况是否被计算过，若被计算过就能够直接返回结果不用进行下面的一系列判断计算
    if(dp[i][j]>0)
       return dp[i][j];
    int ans=0;
    if(i==n)
        return ans;
    if(w[i]>j)
        ans=res(i+1,j);
    else
        ans=max(res(i+1,j),res(i+1,j-w[i])+v[i]);
    dp[i][j]=ans; //保存求出结果
    return ans;
}
int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    scanf("%d%d",&n,&w1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    cout<<res(0,w1)<<endl;
    return 0;
}

咱们由此又能够得出打表的方法即：

    for i = 1.......n

          for j =1....v

                dp[i][j]=max(dp[i-1][ j ] ，dp[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]);

再对空间复杂度进行优化可得：

      for i = 1.......n

            for j =v....p[i]

                  dp[ j ]= max( dp[ j ] ，dp[ j-w[ i ] ] + v[ i ]);

所以就获得了咱们如今经常使用的计算01背包的方法。

01背包 例题：http://www.javashuo.com/article/p-adqbhflh-kz.html（不须要刚好装满）

咱们还应该注意初始化的细节问题：

 咱们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。 有的题目要求“刚好装满背包”时的最优解，有的题目则并无要求必须把背 包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不一样。 若是是第一种问法，要求刚好装满背包，那么在初始化时除了F[0]为0，其 它F[1..V ]均设为−∞，这样就能够保证最终获得的F[V ]是一种刚好装满背包的 最优解。 若是并无要求必须把背包装满，而是只但愿价格尽可能大，初始化时应该 将F[0..V ]所有设为0。

这是为何呢？能够这样理解：初始化的F数组事实上就是在没有任何物 品能够放入背包时的合法状态。若是要求背包刚好装满，那么此时只有容量 为0的背包能够在什么也不装且价值为0的状况下被“刚好装满”，其它容量的 背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞了（即控制在背包没有装满时是不合法的）。若是背包并不是 必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的 价值为0，因此初始时状态的值也就所有为0了（在背包没有被装满也是合法的）。