常系数齐次线性递推

常系数齐次线性递推

要干啥

已知
\[f[n]=\sum_{i=1}^k C_if[n-i]\]
求\(f[n]\)的值，\(n\le 10^9,k\le 20000\)，答案取模。

暴力作法

若是复杂度\(O(nk)\)容许的话，显然是能够直接\(dp\)转移的。
当\(k\)很小的时候，转移写成矩阵形式，假设转移矩阵为\(M\)，能够获得：\(\displaystyle f[n]=f[0]*M^n\)，这里的\(f\)是向量的形式。
复杂度为\(O(k^3logn)\)

因此到底要怎么作

显然咱们已知矩乘的时候是一个\(n\)维向量乘上转移矩阵获得了一个\(n\)维向量。
考虑这个转移的特征方程：
\[x^k=\sum_{i=1}^k C_ix^{k-i}\]
把它移项以后咱们定义为特征多项式\(C(x)\)：
\[C(x)=x^k-\sum_{i=1}^k C_ix^{k-i}\]
根据\(Cayley–Hamilton\)定理，获得\(C(M)=0\)，即把\(x\)替换为转移矩阵\(M\)，最终的结果是一个零矩阵。
而咱们要求的就是\(M^n\)，所以，咱们只须要知道\(M^n\ mod \ C(M)\)的结果就行了。
求解这个过程能够相似快速幂的倍增求解，复杂度是两个\(log\)。
假设最终求解出来的余数多项式为
\[G(x)=\sum_{i=0}^{k-1}g_ix^i\]
假设咱们中间的向量为\(A[i]\)，那么最终咱们的答案向量能够写成：
\[ \begin{aligned} A[0]G(M)&=A[0]\sum_{i=0}^{k-1}g_iM^i\\ A[0]G(M)&=\sum_{i=0}^{k-1}g_i(A[0]M^i)\\ A[0]G(M)&=\sum_{i=0}^{k-1}g_iA[i] \end{aligned}\]
而事实上咱们要求的并非最终的向量\(A[n]\)，而只有向量\(A[n]\)的最后一项。
所以：
\[f[n]=\sum_{i=0}^{k-1}g_if[i]\]
那么这样一来咱们把矩阵的转移变成了简单的数之间的转移。
时间复杂度为\(O(klogklogn)\)

彷佛这篇文章里面有些细节上的东西写得不是很好，意会一下就行了。