最大子数组和（最大子段和）

时间 2020-03-19

标签最大数组繁體版

原文原文链接

好比对于数组[1,-2,3,5,-1,2] 最大子数组和是sum[3,5,-1,2] = 9, 咱们要求函数输出子数组和的最大值,而且返回子数组的左右边界(下面函数的left和right参数).php

本文咱们规定当数组中全部数都小于0时，返回数组中最大的数（也能够规定返回0，只要让如下代码中maxsum初始化为0便可，此时咱们要注意-1 0 0 0 -2这种情形，特别是若是要求输出子数组的起始位置时，若是是面试就要和面试官问清楚）html

如下代码咱们在PAT 1007. Maximum Subsequence Sum测试经过,测试main函数以下面试

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    vector<int>vec(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &vec[i]);
    int left, right;
    int maxsum = maxSum1(vec, left, right);//测试时替换函数名称
    if(maxsum >= 0)
        printf("%d %d %d", maxsum, vec[left], vec[right]);
    else printf("0 %d %d", vec[0], vec[n-1]);
}

参考：编程之美2.14 求数组的子数组之和的最大值算法

算法1：最简单的就是穷举全部的子数组，而后求和，复杂度是O（n^3）编程

int maxSum1(vector<int>&vec, int &left, int &right)
{
    int maxsum = INT_MIN, sum = 0;
    for(int i = 0; i < vec.size(); i++)
        for(int k = i; k < vec.size(); k++)
        {
            sum = 0;
            for(int j = i; j <= k; j++)
                sum += vec[j];
            if(sum > maxsum)
            {
                maxsum = sum;
                left = i;
                right = k;
            }
        }
    return maxsum;
}

算法2: 上面代码第三重循环作了不少的重复工做,稍稍改进以下,复杂度为O(n^2)数组

int maxSum2(vector<int>&vec, int &left, int &right)
{
    int maxsum = INT_MIN, sum = 0;
    for(int i = 0; i < vec.size(); i++)
    {
        sum = 0;
        for(int k = i; k < vec.size(); k++)
        {
            sum += vec[k];
            if(sum > maxsum)
            {
                maxsum = sum;
                left = i;
                right = k;
            }
        }
    }
    return maxsum;
}

算法3: 分治法, 下面贴上编程之美的解释, 复杂度为O(nlogn)函数

//求数组vec【start，end】的最大子数组和，最大子数组边界为[left，right]
int maxSum3(vector<int>&vec, const int start, const int end, int &left, int &right)
{
    if(start == end)
    {
        left = start;
        right = left;
        return vec[start];
    }
    int middle = start + ((end - start)>>1);
    int lleft, lright, rleft, rright;
    int maxLeft = maxSum3(vec, start, middle, lleft, lright);//左半部分最大和
    int maxRight = maxSum3(vec, middle+1, end, rleft, rright);//右半部分最大和
    int maxLeftBoeder = vec[middle], maxRightBorder = vec[middle+1], mleft = middle, mright = middle+1;
    int tmp = vec[middle];
    for(int i = middle-1; i >= start; i--)
    {
        tmp += vec[i];
        if(tmp > maxLeftBoeder)
        {
            maxLeftBoeder = tmp;
            mleft = i;
        }
    }
    tmp = vec[middle+1];
    for(int i = middle+2; i <= end; i++)
    {
        tmp += vec[i];
        if(tmp > maxRightBorder)
        {
            maxRightBorder = tmp;
            mright = i;
        }
    }
    int res = max(max(maxLeft, maxRight), maxLeftBoeder+maxRightBorder);
    if(res == maxLeft)
    {
        left = lleft;
        right = lright;
    }
    else if(res == maxLeftBoeder+maxRightBorder)
    {
        left = mleft;
        right = mright;
    }
    else
    {
        left = rleft;
        right = rright;
    }
    return res;
}

算法4: 动态规划, 数组为vec[]，设dp[i] 是以vec[i]结尾的子数组的最大和，对于元素vec[i+1], 它有两种选择：a、vec[i+1]接着前面的子数组构成最大和，b、vec[i+1]本身单独构成子数组。则dp[i+1] = max{dp[i]+vec[i+1], vec[i+1]}测试

若是不考虑记录最大子数组的位置，因而有如下代码：本文地址3d

int maxSum_(vector<int>&vec)
{
    int maxsum = INT_MIN, sum = 0;
    for(int i = 0; i < vec.size(); i++)
    {
        sum = max(sum + vec[i], vec[i]);
        maxsum = max(maxsum, sum);
    }
    return maxsum;
}

对以上代码换个写法，并记录最大子数组的位置htm

int maxSum4(vector<int>&vec, int &left, int&right)
{
    int maxsum = INT_MIN, sum = 0;
    int begin = 0;
    for(int i = 0; i < vec.size(); i++)
    {
        if(sum >= 0)
        {
            sum += vec[i];
        }
        else
        {
            sum = vec[i];
            begin = i;
        }

        if(maxsum < sum)
        {
            maxsum = sum;
            left = begin;
            right = i;
        }
    }
    return maxsum;
}

若是数组是循环的，该如何呢

这时分两种情形（图中红色方框表示求得的最大子数组，left、right分别是子数组的开始和结尾）：

（1）以下图最大的子数组没有跨过vec[n-1]到vec[0], 这就是每循环的状况

（2）以下图，最大的子数组跨过vec[n-1]到vec[0]

对于第二种情形，至关于从原数组中挖掉了一块(vec[right+1], …, vec[left-1]) ,那么咱们只要使挖掉的和最小便可，求最小子数组和最大子数组相似，代码以下，如下代码在九度oj1572首尾相连数组的最大子数组和经过测试（测试须要，如下代码当数组全是负数时，输出0）：

int maxSumCycle(vector<int>&vec, int &left, int&right)
{
    int maxsum = INT_MIN, curMaxSum = 0;
    int minsum = INT_MAX, curMinSum = 0;
    int sum = 0;
    int begin_max = 0, begin_min = 0;
    int minLeft, minRight;
    for(int i = 0; i < vec.size(); i++)
    {
        sum += vec[i];
        if(curMaxSum >= 0)
        {
            curMaxSum += vec[i];
        }
        else
        {
            curMaxSum = vec[i];
            begin_max = i;
        }

        if(maxsum < curMaxSum)
        {
            maxsum = curMaxSum;
            left = begin_max;
            right = i;
        }
        ///////////////求和最小的子数组
        if(curMinSum <= 0)
        {
            curMinSum += vec[i];
        }
        else
        {
            curMinSum = vec[i];
            begin_min = i;
        }

        if(minsum > curMinSum)
        {
            minsum = curMinSum;
            minLeft = begin_min;
            minRight = i;
        }
    }
    if(maxsum >= sum - minsum)
        return maxsum;
    else
    {
        left = minRight+1;
        right = minLeft-1;
        return sum - minsum;
    }
}

参考：面试题精解之二：字符串、数组（1）