图解leetcode279 —— 彻底平方数

每道题附带动态示意图，提供java、python两种语言答案，力求提供leetcode最优解。

描述：

给定正整数 n，找到若干个彻底平方数（好比 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你须要让组成和的彻底平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

思路：

　　　　这道题的官方分类是【动态规划】，因此咱们用动态规划的方法来解，动态规划最重要的是找到它的状态转移方程（即找出状态间的关系）。

　　除了状态转移方程，咱们也能够用状态转移表的方法来解题，可是状态转移表只能解维度比较低题，好比著名的0-1背包问题，影响状态转移的决策只有两种，把物品放入背包、不把物品放入背包。因此很容易就能够画出一张二维的状态转移表，可是像今天咱们要解决的这种问题，假如n=12，那么影响状态转移的决策至少就有三种，取1，取4，取9，人脑很难想像出多维的状态转移表，因此这里咱们采用状态转移方程的方法来解。

状态转移方程推导：

函数f(n)为求组成n的彻底平方数的最小个数(就是该题），因此f(12) = 3；f(13) = 2。

咱们记作f(n) = m。n能够拆分为 n = d + k*k这种形式。

好比12 = 8 + 2*2，13 = 4 + 3*3，由于不管是12仍是13都是彻底平方数组成的，因此必定能够转换成这种形式。

f(n) = f(d) + f(k*k)，由于k*k是一个彻底平方数，因此f(k*k) = 1

即f(n) = f(d) + 1，而由 n = d + k*k可得，d = n - k*k，因此上式可化为：

f(n) = f(n-k*k) + 1，（k*k < n）。

这就得出了状态转移方程：dp[i] = min(dp[i-j*j]+1, dp[i])，（j*j <= i）

这里和dp[i]取最小的缘由是dp[i-j*j]+1可能不止一个值，取这些值中的最小值。

动图：

图中例子为f(5) = 2

5 = 4 + 1 

实现：

java:

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = i;
            for (int j = 1; i - j * j >= 0; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

结果：

python3:

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [i for i in range(n + 1)]
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if i - j * j >= 0:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
                else:
                    break
        return dp[n]

结果：

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