浮点数运算的机器偏差分析

用一个浮点数相加的例子来演示计算机在计算时所产生的偏差。

 

在Python中，用0.2+0.4 会获得0.6000000000000001。

 

浮点数简介

浮点数的表示方法：目前流行的浮点数标准是IEEE754。用64个bit来表示双精度。

 

 

首位为符号位s，0表明正，1表明负。

接下来的11位表明指数，将其理解为一个无符号的数字e，例如，00000000011就表明3。定义指数（阶码）M和偏置Bias，其中偏置，定义，容易看出E的范围为-1022到+1023。对于单精度，。

最后的52位是编码尾数M，第一位的权重是1/2，第二位的权重是1/4…  第52位的权重是。这里有一个隐藏位，在首位以前，表明1.所以M的范围其实是. 当52位全为0时，M为1 当全为1时，M很是接近2，但还差了一个

 

浮点数. M在1到2之间，E在到，这二者配合不管是精度仍是范围都足够大了。

 

浮点数加法（以0.2+0.4为例）

浮点数加法的计算步骤：浮点数有本身的一套计算方法，如下借助例子详细阐述，总之核心思想就是保持阶码一致，当须要移位的时候，就抛弃掉尾数的最后一位，由于这一位的权重最小，但就是抛弃尾数的最后几位致使了偏差。

 

对阶&移位-->有效数求和-->规格化-->舍入处理-->溢出判断.

以0.2+0.4为例逐步分析。

首先，利用http://www.binaryconvert.com  将0.2和0.4转换为二进制表示，以后从二进制到十进制的逆转换一样是由这个网站完成的。

0.2：0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

为了下面阐述方便，直接将隐藏位也一块儿写出来。

0.2：0 01111111100 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

 

简单check一下，能够看出0.2的阶码E=-3，也就是1/8，乘上M后能够获得0.2；同理0.4的阶码E=-2.

 1.     对阶&移位

对阶：先求阶差，明显0.2的阶码比0.4的阶码小1.

移位：小码向大码看齐，即将0.2的阶码变成-2，同时将尾数右移一位。这个操做其实就是让阶码+1，致使原数V扩大两倍，同时尾数右移一位，致使原数V缩小两倍。两者相互抵消。要注意在移动尾数时要连隐藏位一块儿移动，同时抛弃末位。这样一来0.2变为：

0.2：0 01111111101 01100110011001100110011001100110011001100110011001101

 2.     有效数求和

将0.2和0.4的尾数求和，包含隐藏位

0.2：01100110011001100110011001100110011001100110011001101

0.4：11001100110011001100110011001100110011001100110011010

一样利用一个小网站http://www.99cankao.com  来实现这一计算，计算结果已通过手动check，为：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

有5位。

 3.     规格化

双精度数字只容许尾数为52位，因此上述求和的数字要进行规格化，即将原来的大阶码（-2）加一，变成-1，即01111111110

同时将尾数和右移，与前面移位中相似，阶码+1让V乘以2，尾数右移让V除以2。但要注意此时右移是不包括隐藏位的，简单分析一下缘由：

若是不进行规格化，至关于：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

中，10的权重为1，也即换位十进制为1*2+0+1=2，再加上后面的小数，咱们这里假设为0.4（数字随便取的，只为了说明方便）。那么此时尾数M=2.4. 为了使其回到本来的浮点数表示，咱们将阶码加一，那么相应的尾数就要除以2，变成1.2。在浮点数表示中，隐藏位始中给出一个1，就须要尾数给出0.2，这样才能获得1.2。那么天然地，100110011001100110011001100110011001100110011001100111中，黑色部分给出0.4，将其右移一位，抛弃末位，就能够获得0.2。

综上所述，规格化时尾数的移位不包括隐藏位，可是第一步移位的时候要带上隐藏位，缘由是类似的，这里就不展开了。

 4.     舍入处理

在对0.2规格化时，100110011001100110011001100110011001100110011001100111，末位是1，IEEE754的策略是0舍1入，所以去掉隐藏位，初位前加0，抛弃末位，并加一后变为：

0011001100110011001100110011001100110011001100110100

 5.     溢出处理

整合获得最后的结果为

0 01111111110 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

这就是咱们最后获得的0.2+0.4得二进制表示，将其转换为十进制看一下结果：

0011111111100011001100110011001100110011001100110011001100110100

能够看出最后的结果6.00000000000000088817841970013E-1，略大于0.6，在Python中将其处理为0.6000000000000001也就很天然了。

 

总结

经过这个例子咱们能够看出，计算机表示数字具备自然的偏差，无论你采用多高的精度，多少个bit，最后至少都会产生一个的偏差。