IEEE754浮点数

前言

　　Go语言之父Rob Pike大神曾吐槽：不能掌握正则表达式或浮点数就不配当码农！

　　You should not be permitted to write production code if you do not have an journeyman license in regular expressions or floating point math.

　　此前使用Java写Spark SQL业务时，也有遇到浮点数比较问题即x>70的记录行竟然出现了70的记录，尽管SQL作了类型转换再比较也无济于事....

　　所以了解浮点数是颇有必要的哟~~

什么是浮点数

　　电气和电子工程师协会IEEE对于计算机浮点数的存储、运算、表示等推出了IEEE754标准！

　　标准中规定：

　　　　float32位单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号，用 8 位表示指数，用 23 位表示尾数。

　　　　double64位双精度浮点数，用 1 位表示符号，用 11 位表示指数，52 位表示尾数。

　　　　其中指数域也称为阶码。浮点数存储字节定义如图：

　　       

浮点数正规化

　　尾数不为0时，尾数域的最高有效位为1，这称为规格化。不然，以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法，使其成为规格化数的形式。

　　浮点数x真值表示：

　　x=(−1)^S×(1.M)×2^e

　　float：　　　　e=E−127

　　double：　　   e=E−1023　

• S  符号位　　  0表示正 1表示负
• e  指数位  　　阶码E减去移码
• M 尾数位  　　二进制形式移码

移码

　　移码是真值补码的符号位取反，通常用做浮点数的阶码，目的是便于浮点数运算时的对阶操做。

　　对于定点整数，计算机通常采用补码的来存储。

　　正整数的符号位为0，反码和补码等同于原码。

　　负整数符号位都为1，原码，反码和补码的表示都不相同，由负数原码表示法变成反码和补码有以下规则：
　　（1）原码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码；
　　（2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1得补码。

　　　好比，以一个字节来表示-3，那么[−3]原=10000011 [−3]反=11111100 [−3] 补=11111101  [−3]移=01111101

　　

举个栗子

【3.14的单精度浮点数表示】

首先将3.14转成二进制:

整数部分3的二进制是11

小数部分0.14的二进制是：0.0010001111010111000010[10001111.....]（方括号中表示小数点后第23位及以后）

这样，3.14的二进制代码就是：11.0010001111010111000010[10001111....]×2⁰

那么用正规化表示就是：1.10010001111010111000010[10001111....]×2¹

方括号表示的超出23位以后的二进制部分，因为单精度浮点数尾数只有23位，因此须要舍入（舍入方法见后）

因为第24位为1，且以后 不全为 0，因此须要向第23位进1完成上舍入：1.10010001111010111000011×2¹

而其指数是1，须要加上移码127，即128，也就是1000 0000

它又是正数，因此符号为0

综上所述，3.14的单精度浮点数表示为：
0 1000-0000 1001-0001-1110-1011-1000-011

S符号位    0 

e指数位　1000-0000

M尾数位  1001-0001-1110-1011-1000-011

十六进制代码为：0x4048F5C3

偏差

　　经过栗子可知，3.14的单精度浮点数表示是0 1000-0000 1001-0001-1110-1011-1000-011。如今咱们来还原，看看它的偏差：

　　指数是128，那么还原回去（减去移码），实际指数就是1

　　尾数还原也就是：10010001111010111000011，因此正规化形式是：1.10010001111010111000011×2¹

　　也就是11.0010001111010111000011

　　利用二进制转十进制，可得它对应的十进制数是：3.1400001049041748046875  不等于3.14

　　这就是为何浮点数运算结果在业务代码中老是不可确切预期的缘由！！！！

机器ε

　　机器ε表示1与大于1的最小浮点数之差。例如双精度表示1和表示大于1的最小浮点数

　　

　　

　　双精度浮点数的机器ε = 2^-52 ≈ 2.220446049250313e-16

　　同理，单精度的机器ε = 2^-23 ≈ 1.1920928955078125e-7

　　在舍入规则中，相对舍入偏差不能大于机器ε的一半。

非正规化

　　  单精度浮点数为例

　　（1）0的表示

　　　　对于阶码为0或255的状况，IEEE754标准有特别的规定：

　　　　若是 阶码E=0而且尾数M是0，则这个数的真值为±0（正负号和数符位有关）。

　　　　+0的机器码为：0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　　　-0的机器码为：1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　　　须要注意一点，浮点数不能精确表示0，而是以很小的数来近似表示0。由于浮点数的真值等于

　　　　x=(−1)^S×(1.M)×2^e 

　　　　e=E−127

　　　　那么

　　　　+0的机器码真值为  1.0×2⁻¹²⁷ 

-0机器码真值为  −1.0×2⁻¹²⁷

　　（2）无穷的表示
　　　　若是阶码E=255 而且尾数M全是0，则这个数的真值为±∞（一样和符号位有关）。

　　　　所以

　　　　+∞的机器码为：0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　　　-∞的机器吗为：1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

　　（3）NaN（Not a Number）
　　　　若是 E = 255 而且 M 不全是0，则这不是一个数（NaN）。

舍入规则

　　以23位尾数位的单精度浮点数为例，舍入时须要重点参考第24位

　　若第24位为1，且第24位以后所有为0。此时就要使第23位为0：若第23位原本就是0则无论，若第23位为1，则第24位就要向第23位进一位，这样第23位就能够为0

　　若第24位为1，且第24位以后不全为0，则第24位就要向第23位进一完成上舍入。

　　若第24位为0，此时直接舍去不进位，称为下舍入。

再来个栗子

JavaScript console 双精度浮点数

>>9.4 - 9 - 0.4 === 0
<<false
>>(9.4-9-0.4).toFixed(20)
<<"0.00000000000000033307"

9.4-9-0.4不严格等于0，其运算结果偏差。

由于按照上面的浮点数知识可知

9.4在机器内被表示为：9.4+0.2×2^-49

0.4被表示为：0.4+0.1×2^-52

当9.4-9时（由于9是整数是能够精确存储的）得0.4+0.2×2^-49，再减去0.4+0.1×2^-52得3×2^-53，约等于"0.00000000000000033307"。

 

详细解释：

9的二进制是1001，而0.4的二进制是0.0110-0110-0110-……无限循环的。从而9.4的二进制是1001.0110-0110……，正规化之后就变成 1.001-0110-0110-……×2^³，

由于双精度浮点数是52位尾数，因此小数部分保留0.001-0110-0110-……-0110-0 [110-0110-0110-……]。即001后跟12个0110循环节，而后第52位是0，中括号表示从

第53位起开始舍弃的部分。根据我提到的舍入规则，第53位1且后面不全为0，要向第52位完成上舍入，因此小数部分就变成 0.001-0110-0110-……-0110-1。至此咱们

能够看到，这个数较之9.4，因为小数部分第52位由0变为1，因此多加了2^-52，可是由于从小数部分第53位开始舍弃了，舍弃部分是 0.1100-1100-…×2^-52 = 0.8×2^-52。

因此咱们多加了2^-52，可是少了0.8×2^-52，这就意味着，但考虑尾数部分，这个数比9.4多了 2^-52 - 0.8×2^-52 = 0.2×2^-52，别忘记以前还有一个2^3，因此整

体多了0.2×2^-52×2^³ = 0.2×2^-49

这就是为何9.4在机器内被表示为：9.4+0.2×2^-49

同理，0.4在机器内被表示为：0.4+0.1×2^-52