[WC2011]最大XOR和路径（线性基）

P4151 [WC2011]最大XOR和路径

题目描述

XOR（异或）是一种二元逻辑运算，其运算结果当且仅当两个输入的布尔值不相等时才为真，不然为假。 XOR 运算的真值表以下（ 1 表示真， 0 表示假）：

而两个非负整数的 XOR 是指将它们表示成二进制数，再在对应的二进制位进行 XOR 运算。

譬如 12 XOR 9 的计算过程以下：

故 12 XOR 9 = 5 。

容易验证， XOR 运算知足交换律与结合律，故计算若干个数的 XOR 时，不一样的计算顺序不会对运算结果形成影响。从而，能够定义 KK 个非负整数 $A_1$,$A_2$​ ,$……$ , $A_{K-1}$​,$A_K$的 XOR 和为 $A_1$ XOR $A_2$ XOR …… XOR $A_{K-1}$ XOR $A_K$

考虑一个边权为非负整数的无向连通图，节点编号为 1 到 N ，试求出一条从 1 号节点到 N 号节点的路径，使得路径上通过的边的权值的 XOR 和最大。

路径能够重复通过某些点或边，当一条边在路径中出现了屡次时，其权值在计算 XOR 和时也要被计算相应多的次数，具体见样例。

输入输出格式

输入格式：

输入文件 xor.in 的第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$ ， 表示该无向图中点的数目与边的数目。

接下来 M 行描述 M 条边，每行三个整数 $S_i$​ ， $T_i$​ ， $D_i$ ， 表示 $S_i$ 与 $T_i$ 之间存在一条权值为 $D_i$ 的无向边。

图中可能有重边或自环。

输出格式：

输出文件 xor.out 仅包含一个整数，表示最大的 XOR 和（十进制结果）。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 7 1 2 2 1 3 2 2 4 1 2 5 1 4 5 3 5 3 4 4 3 2

输出样例#1： 复制

6

说明

【样例说明】

如图，路径 $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5$对应的XOR和为

2 XOR 1 XOR 2 XOR 4 XOR 1 XOR 1 XOR 3=6

固然，一条边数更少的路径 $1 \rightarrow 3 \rightarrow 5$ 对应的XOR和也是 2 XOR 4 = 6 。

【数据规模】

对于 $20 %$ 的数据， $N \leq 100$ ， $M \leq 1000$ ， $D_i$ $\leq$ $10^{4}$ ；

对于 $50 %$ 的数据， $N \leq 1000$ ， $M \leq 10000$ ， $D_i$ $\leq$ $10^{18}$ ；

对于 $70 %$ 的数据， $N \leq 5000$ ， $M$ $\leq$ $50000$ ， $D_i$ $\leq$ $10^{18}$ ；

对于 $100 %$ 的数据， $N \leq 50000$ ， $M \leq 100000$ ， $D_i \leq 10^{18}$ 。

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<font color="00ccff">题解</font>

怎么说呢。有这样一条定理 （不知道这个以前的我根本不会作这道题）

• 任意一条 $1$ 到 $n$ 的路径的异或和，均可以由任意一条 $1$ 到 $n$ 路径的异或和与图中的一些环的异或和来组合获得。

为何？ 若是咱们走一条路径的话，若是路径上存在一个环，那么这个环的总异或值就能够下放到线性基。由于把这个环走两遍就等于没走这个环，一样我若是是由一条路径到的这个环，沿原路返回，那等于那条路径没走，只走了环。

在这种条件下，咱们能够考虑把环储存为一个线性基的元素。由于这个元素是可选和可不选的。

那么为何是任意的简单路径呢? 由于 $1$ 到 $N$ 的简单路径是必需要走的。这显然。 而后若是有多条 $1$ 到 $N$ 的路径，那么这显然也构成一个环，也是能够抵消异或的任意一条其余的路径的是吧。 而后这个题目就好作了咕咕咕。

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<font color="00ccff">代码</font>

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll dis[50001],sum[101],b[101];
ll n,m,vis[50001];
int head[100001],num;
struct node{
    int next,to;
    ll v;
}e[100001<<1];

ll read()
{
    ll x=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*w;
}

void add(int from,int to,ll v){
    num++;
    e[num].to=to;
    e[num].v=v;
    e[num].next=head[from];
    head[from]=num;
}

void update(ll x){
    for(int i=60;i>=0;i--){
        if(sum[i]&x){
            if(b[i])x^=b[i];
            else {
                b[i]=x;
                break;
            }
        }
    }
}

void dfs(int x){
    vis[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(vis[v])update(dis[v]^e[i].v^dis[x]);
        else dis[v]=dis[x]^e[i].v,dfs(v);
    }
}

ll query(ll x){
    ll ans=x;
    for(int i=60;i>=0;i--){
        if((ans^b[i])>ans)ans^=b[i];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    sum[0]=1;for(int i=1;i<=60;i++)sum[i]=sum[i-1]*2;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ll x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z);add(y,x,z);
    }
    dfs(1);
    printf("%lld",query(dis[n]));
    return 0;
}