《前端图形学从入门到放弃》002 教练我想学矩阵

本文大纲

• 矩阵和线性变换是什么？
• webgl如何实现缩放和旋转？
• 平移不是线性变换，那该怎么办？
• webgl如何实现平移？

今天的主菜是“矩阵”

在上一篇中咱们已经实现了使用webgl绘制图形这个小目标《前端图形学从入门到放弃》001 画一个三角形
今天咱们来探讨一个新的话题矩阵
咱们都知道空间中的点咱们能够用向量表示，例如二维平面中的点（1，1）就表示第一象限的点：

而多个点就能组成图形，这也是上一篇文章中咱们说过的。
实际生产中这些图形每每并不会固定在画面中不懂，例如咱们能够对图形进行旋转，缩放，移动。
实际上这个过程就是将图形的顶点组进行了旋转，缩放，移动，成为了新的顶点组，再由新的顶点组绘制成新的图形。

例如咱们要将由点A(0,0),B(1,0),C(0,1)组成的三角形放大一倍，那么咱们很容易知道放大后的点ÂḂĆ的坐标

Âx = Ax 2 = 02 = 0
Ây = Ay 2 = 02 = 0
Ḃx = Bx 2 = 12 = 2
Ḃy = By 2 = 02 = 0
Ćx = Cx 2 = 02 = 0
Ćy = Cy 2 = 12 = 2

数学家嫌这一番操做太过麻烦，而点又是能够写成向量形式的，要是能把操做简化成Â = M*A的形式就再好不过了，因而

⎡ 2  0 ⎤  
 = ⎪      ⎪ * A
    ⎣ 0  2 ⎦

真是一顿操做猛如虎，一句不懂二百五

解剖矩阵

举证表明了一种计算，如上咱们使用了一个二维矩阵

⎡ A  B ⎤  
    ⎣ C  D ⎦

与一个二维向量相乘，会获得一个新的二维向量，计算公式以下

⎡ A  B ⎤  ⎡x⎤  =   ⎡ A*x + B*y ⎤
    ⎣ C  D ⎦  ⎣y⎦      ⎣ C*x + D*y ⎦

固然矩阵也不单单能够和向量相乘也能够和举证相乘，矩阵也不单单能够是22，也能够是33，更能够是n*m（n表明行数，m表明列数）。
两个矩阵能够相乘只须要，前一个矩阵的列数和后一个矩阵的函数相等便可。
例如nm的举证能够和ml的矩阵相乘，获得n*l的矩阵。
至于计算方法不是本文讨论的内容，推荐观看3blue1brown的视频。

缩放矩阵 与 旋转矩阵

而上文咱们看到的矩阵

⎡ 2  0 ⎤  
    ⎣ 0  2 ⎦

就是一个把任意点放大两倍的矩阵，更通常的，若是能够写出缩放矩阵（n≠0）

⎡ n  0 ⎤  ⎡x⎤  =   ⎡ n*x ⎤
    ⎣ 0  n ⎦  ⎣y⎦      ⎣ n*y ⎦

相比于缩放还有一种操做也很高频，那就是旋转。前面没有提到，矩阵的变换是线性的。什么叫作线性？也是是说一样的操做（放大2倍）对A点产生的效果，和对B点产生的效果（放大2倍）是同样的。
因此对于旋转矩阵咱们也能够找到特殊的点进行求解，从而获得广泛适用的矩阵
对于x轴上的点a，旋转ø角后，能够用下图描述

咱们就获得了二维平面上的旋转矩阵

⎡ cosø  -sinø ⎤  
    ⎣ sinø   cosø ⎦

webgl和矩阵更配哟～

下面咱们把矩阵和webgl结合起来，让《前端图形学从入门到放弃》001 画一个三角形中咱们实现的三角形能够旋转与缩放
首先咱们在页面上添加两个滑块分辨实现旋转与缩放

<canvas id="canvas" width="1000" height="1000"></canvas>
<div id="control">
    <input type="range" value=".75" min=".5" max="1" step="0.01" id="scale" value="0">
    <input type="range" value="0" min="0" max="360" step="0.01" id="rotate" value="0">
</div>

因为旋转和缩放操做仅仅影响顶点位置，下面咱们之须要修改顶点着色器便可：

<script id="vertex-shader-2d" type="notjs">
    attribute vec2 vertPosition;
    attribute vec3 vertColor;
    varying vec3 fragColor;
    // 额外申明两个矩阵用于旋转和缩放
    uniform mat2 scaleMatrix;
    uniform mat2 rotateMatrix;
    void main() {
      fragColor = vertColor;
      // 把顶点坐标与矩阵相乘，获得旋转和缩放后的新顶点，传给gl
      gl_Position = vec4(scaleMatrix*rotateMatrix*vertPosition,0.0,1.0);
    }
   
  </script>

这两个申明的变量也要在js中取出

...
var positionAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertPosition');
var colorAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertColor');
var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix');
var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix');
...

因为咱们指望在滑动滑块时，页面实时变化，所以须要一个loop函数来完成这一切：

....
 gl.useProgram(program);
      gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 6);
      loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix);
    }
...

loop函数：

var scaleNode = document.querySelector("#scale");
var rotateNode = document.querySelector("#rotate");
function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix) {
      var angle = rotateNode.value/180*Math.PI;
      var scale = scaleNode.value;
      var sin = Math.sin(angle);//旋转角度正弦值
      var cos = Math.cos(angle);//旋转角度余弦值
      var myArr = new Float32Array([cos, -sin, sin, cos,]);
      var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0, scale,]);
      gl.uniformMatrix2fv(rotateMatrix, false, myArr);
      gl.uniformMatrix2fv(scaleMatrix, false, scaleArr);
      gl.clearColor(0.75, 0.85, 0.8, 1.0);
      gl.clear(gl.COLOR_BUFFER_BIT | gl.DEPTH_BUFFER_BIT);
      requestAnimationFrame(function () {
        loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix);
      });
      gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 3);
    }

大功告成：

教练我动不了了

不知道各位看官有没有发现，在矩阵这套线性变化下，咱们没办法作平移操做。由于做为原点的o(0，0)不论乘以什么矩阵，结果都仍是本身。可是平移操做是平常工做中极其常见的操做，不能平移甚至没法实现拖拽！
难道图形学之路就此gg？

但天无绝人之路，只要零点不是零点我就能够移动它，对于二维平面，我能够把它看做三维世界中一个不过原点的平面，本来的(x,y)变为(x，y，1)
此时就能够实现平移

根据上文，咱们已经了解的矩阵知识，不难写出

而这种经过n+1维实现了n维线性变换外加移动操做的变换，就被称为齐次变换。

webgl和齐次变换更配哟～

下面咱们继续改造原有的webgl代码！
首先咱们还须要加入两个滑块分别控制，图形上下和左右运动

<div id="control">
   ...
    <input type="range" value="0" min="-0.5" max="0.5" step="0.01" id="tranX">
    <input type="range" value="0" min="-.5" max=".5" step="0.01" id="tranY">
  </div>

因为齐次变换将全部的矩阵都升维了，咱们须要改造定点着色器。

<script id="vertex-shader-2d" type="notjs">
    ...
    // 将本来二维矩阵定义为三维
    uniform mat3 scaleMatrix; 
    uniform mat3 rotateMatrix;
    uniform mat3 transformMatrix;
    void main() {
      fragColor = vertColor;
      vec3 v = rotateMatrix*scaleMatrix*transformMatrix*vec3(vertPosition,1.0);
      // 因为咱们之须要x，y把他们取出便可
      gl_Position = vec4(v.xy,0.0,1.0);
    }
   
  </script>

因为矩阵从二维变为三维，取出的变量也须要从新定义为三维：

...
var trMatrix = gl.getUniformLocation(program,'transformMatrix');
      var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix');
      var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix');
...
// 获取滑块
var tranXNode = document.querySelector("#tranX");
var tranYNode = document.querySelector("#tranY");
// 修改loop函数
...
    loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix);
}
function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix) {
...
    var myArr = new Float32Array([cos, -sin, 0 , sin, cos, 0,0,0,1]);
    var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0,0, scale,0,0,0,1]);
    var tranArr = new Float32Array([1,0,0,0,1,0,tranXNode.value,tranYNode.value,1]);
    // console.log(tranXNode.value);
    gl.uniformMatrix3fv(rotateMatrix, false, myArr);
    gl.uniformMatrix3fv(scaleMatrix, false, scaleArr);
    gl.uniformMatrix3fv(trMatrix, false, tranArr);
....

大功告成：

下期预告

我想二维的世界，你们也腻了，下篇咱们将进入三维世界，并说说光线是如何影响物体的