【汇编】01_数值运算

一、整数

预备知识

1K  = 2^{10      = 1024 （Kilo）}

1M = 1024K = 2^20（Mega）

1G = 1024M = 2³⁰（Giga）

1T = 1024G = 2⁴⁰（Tera）

1P = 1024T = 2⁵⁰（Peta）

 

1个二进制位：bit        （比特）

8个二进制位：Byte    （字节）       1Byte = 8Bit

2个字节：     Word    （字）         1Word = 2Byte = 16bit

 

1.1 数制

数    制	基 数	数    码
二进制     Binary 八进制     Octal 十进制     Decimal 十六进制  Hexadecimal	2 8 10 16	0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A,B,C,D,E,F

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 数制之间的转换

二进制　　十六进制                      相通

十进制　　二进制                         十 到 二    降幂法（除法）

十进制　　十六进制                     十 到 二     降幂法（除法）

 

十六进制：十六进一，借一当十六

 

1.3 逻辑运算（按位操做）

 

 例： X = 00FFH    Y = 5555H    Z = X ^ Y = ?

            X = 0000 0000 1111 1111 B

         ^ Y = 0101 0101 0101 0101 B

---

            Z = 0101 0101 1010 1010 B

因此 Z= 55AAH

 

附：位运算之左移和右移

左移只有一种——高位丢弃，低位补0

右移有两种：一、逻辑右移——低位丢弃，高位补0

                 二、算术右移——低位丢弃，高位补充与最高位相同的值

 

1.4 数的机器表示（初步）

1.4.1 机器字长（machine word）

• 定义：通常指计算机进行一次整数运算所能处理的二进制数据的位数
  • 一般也包括数据地址长度
• 32位字长
  • 地址的表示空间是4GB
  • 对不少内存需求量大的应用而言，很是有限
• 64位字长
  • 地址的表示空间约为1.8 * 10¹⁹ bytes
  • 目前的x86-64机型实际支持48位宽的地址：256TB
• 机器字在内存中的组织
  • 机器字中第一个字节的地址
  • 相邻机器字的地址相差4（32bit）或者8（64bit）

            

 

1.4.2 字节序（Byte Ordering）

一个机器字内的各个字节如何排列？

• Big Endian： Sun，PowerPC，Internet
  • 低位字节（Least significant byte，LSB）占据高位
• Little Endian：x86
  • 低对低，高对高（与LSB相反）

 

1.5 整数表示

 

 

 1.5.1 计算机中整数的二进制编码方式_{（w表示字长）}

负数的二进制表示：补码+1

 

1.5.2 符号位（sign bit）

• 对于补码表示，MSB（Most Significant Bit）表示整数的符号
  • 0 for nonnegative
  • 1 for negative

1.5.2.1 取值范围

      unsigned　　　　　　　　　　　　　　　　 tag

 

1.5.2.2 无符号数与带符号数之间的转换

 

 

1.5.2.3 C语言中的无符号数与带符号数

• 常数（Constants）
  • 默认是带符号数
    • 若是有“U”做为后缀则表示无符号数，如 0U，4297665U
• 若是无符号数与带符号数混合使用，则带符号数默认转换为无符号数
  • 包括比较操做符

实例（w = 32）

即：

 

1.5.2.4 什么时候采用无符号数

• 模运算
• 按位运算

建议：不能仅仅由于取值范围是非负数而使用

 

1.5.2.5 无符号数加法

 

1.5.2.6 补码加法

 

补码加法的溢出

 

1.5.2.7 无符号整数除以2的k次幂

 

 

1.5.2.8 带符号整数除以2的k次幂

 

 

2 浮点数

2.1 IEEE的浮点数标准

 

2.1.1 示例

局限性：只能精确地表示X/2^k这类形式的数据（k为整数）

以上三个值二进制表示将会出现无限循环，如1/10的二进制表示小数部分出现0011的无限循环。

 

2.1.2 计算机中的浮点数二进制表示

 

2.1.2.1 C语言的单、双精度

 

2.1.3 浮点数的类型

 

2.1.3.1 规格化浮点数（Normalized）

示例：

 

2.1.3.2 非规格化浮点数（denormalized）

 

2.1.3.3 一些特殊值

 

 

2.1.3.4 一种“小”浮点数实例

数轴上的分布：

 2.1.3.5 一些特例

 

 2.1.3.6 浮点数的一些编码特性

 

2.2 Rounding（舍入）

2.2.1 给定一个实数，如何给出其浮点数表示？

向偶数舍入（Round-to-Even）

这是计算机内默认的舍入方式，也称为“向最近值的舍入”；其余方式会产生系统偏差。

关键的设计决策是肯定两个可能结果的中间数值的舍入：

• 　　确保舍入后的最低有效数字是偶数
• 　　好比向百分位的舍入（十进制）：
  • 1.2349999        1.23        （Less than half way）
  • 1.2350001        1.24        （Greater than half way）
  • 1.2350000        1.24        （half way -- round up）
  • 1.2450000        1.24        （half way -- round down）

对于二进制数而言：

• “Even”意味着最低有效数需为0
• 而最低有效数字右侧的位串为100...

 

一、规格化

二、舍入

三、调整（Postnormalize）

舍入可能致使溢出

 

2.3 C语言中的浮点数

 包括单精度浮点数（single point floating）和双精度浮点数（double point floating）。

 C语言中int(32bit)、float(32bit)和double(64bit)三种数据类型之间的转换规则：

• int转换成float，不会出现溢出现象，但可能会出现舍入（round-to-even）
• int或float转换成double，会保留int或float的全部精度
• double转换成float，可能出现溢出（+∞ or −∞）
• float或double转换成int，会出现舍入至0（个位）

示例：

定义：int x; float f=...; double d=... (d和f都不是NaN)

 

本章参考书籍：《Computer Systems-A Programmer's Perspective(2nd Edition)》