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信号
信号
信号的分类
- 肯定信号与随机信号
- 周期信号与非周期信号
- 连续信号与离散信号
- 模拟信号与数字信号
信号的分解
- 直流份量与交流份量,能量信号与功率信号
- 奇偶份量(某种正交性)
- 分解成脉冲函数
- 分解成正交函数
正交函数
- 正交:函数内积(积分)为0
- 正交函数集:彼此正交
- 系数即在份量下的投影,归一化。
ci=∫f(t)gi(t)dtg2i(t)dt
- 方均差为0不表明能量相等(可能不完备)
- 完备正交函数集。性质:知足Parseval公式:信号能量等于各份量能量和
相关
- 相关系数:两个函数的夹角(归一化的内积)
- 相关函数:两个函数的相关函数是关于延迟
τ
的函数;功率信号,周期平均的内积
R12(τ)=∫f1(t)f2(t−τ)dt
- 自相关函数:能量信号,和本身的相关函数;功率信号,周期平均的内积
信号的基本运算
延迟
比例
叠加
相乘ide
采样信号(sinc function)
Sa(t)=sinc(t)=sin(t)t
是能量信号(平方可积),不稳定系统(不绝对可积)
单位阶跃信号(heaviside函数)
- 信号接入
e(t)=f(t)u(t)
- 矩形脉冲
u(t−τ)−u(t+τ)
- 单位斜坡信号
ramp(t)=tu(t)
- 符号函数
sgn(t)=2u(t)−1
单位冲激信号
- 极限定义:高斯函数
σ→0
……
从极限过程看奇异信号之间的关系
svg
δ(t)=limτ→01τ[u(t+τ2)−u(t−τ2]
δ′(t)=limτ→01τ[δ(t+τ2)−δ(t−τ2]
∫f(t)δ(t)dt=f(0)
函数
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
atom
δ(at)=δ(t)|a|
spa
δ[h(t)]=∑kδ(t−tk),ak=1|h′(tk)|
xml
1tδ(t)=−δ′(t)
ip
1tnδ(t)=(−1)nn!δ(n)(t)
it
冲击偶信号
傅里叶分析
周期信号都可被表示为各类简谐波的加权和;
非周期信号都可用简谐波信号的加权积分表示。
傅里叶级数
- 定义
- 傅里叶级数收敛充分条件(Dirichlet):在一个周期内间断点的数目有限;极值点个数有限;信号绝对可积
- 函数的对称性与傅氏级数系数的关系,奇偶、奇偶谐
- 常把展开式写成抽样函数的形式
- 频谱特征:
- 离散性:谱线间隔
ω1=2πT1
- 谐波性:各次谐波叠加,谐波份量幅度正比于
AτT1
- 收敛性:谱线的幅度按包络曲线变化,主要能量集中在第一包络内
- 周期信号
f(t)
与其傅氏级数在能量上相等
几种特殊的傅里叶级数
(表格)
通常周期信号
周期矩形信号
周期对称方波信号
周期锯齿信号
周期三角信号
周期半波余弦信号
周期全波余弦信号
傅里叶变换
- 定义
- 对称性
- 时频对称性
- 时频中心纵坐标的对称性(w=0)
- 实函数时间信号指数和三角式的对称
- 共轭对称
F(ω)=F∗(−ω)
- 线性性
- 比例变换性质:时域上压缩对应频谱的扩展
F[f(at)]=1|a|F(ωa)
- 频域带宽
B0=f(0)2F(0)
,时域持续时间
T0=F(0)f(0)
- 时移性质:时域延迟对应频域负相移
- 频移性质:频域向右(
ω−ω0
)位移对应时域正相移
- 卷积定理:时域卷积对应于频域相乘
- 频域卷积对应时域相乘
∗2π
- 微分性质:时域微分对应频域
∗jω
;频域微分对应时域
∗(−jt)
积分性质:时域积分对应
/jω
;频域积分对应
相关定理:
F[R12(τ)↔F1(ω)F2∗(ω)]
F[R(τ)↔|F(ω)|2
- Parseval公式:时域平方积分=频域平方积分
/2π
,能量关系
- 能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。
几种特殊的傅里叶变换
矩形脉冲信号
AτSa(ωτ2)
把直流信号看做脉冲脉宽变大的极限
2πAδ(ω)
阶跃信号看做指数函数的极限
1jω+πδ(ω)
符号函数
sgn(t)=2u(t)−1
推出
2jω
冲激信号
傅里叶级数和傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
周期延拓后的傅里叶级数
二者结合,给定非周期信号f0(t),则信号fT(t)的变换为
抽样定理
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
- 定义
L[f(t)]=∫f(t)e−stdt
- 通常研究单边拉普拉斯变换,积分限认为是从
0−
开始
- 收敛域在s平面上最右边奇异点的右侧
- 收敛的充分条件
存在某个实数
σ0<∞,limt→∞f(t)e−σ0t=0
,则在区域
Re(s)>σ0
内,拉普拉斯积分式绝对一致收敛
- 有限时间信号在全平面收敛
- 普通函数、有界函数的拉氏变换为真分式
- 奇异函数的拉氏变换为多项式
常见信号的拉普拉斯变换
(表格)
幂函数
阶跃函数
冲激函数
基本性质
- 线性性
- 时域微分
- 时域积分
收敛区间求导可能扩大,积分可能缩小
- 频域微分
- 频域积分
- 初值定理
- 终值定理
- 时域平移
- 频域平移
- 卷积定理
逆变换
公式法:不实用
有理分式+留数法:
极点为实数单根
极点为共轭复根
极点为重根
利用拉氏变换性质
极零图
- 在s平面上标出系统
H(s)
的全部零点和极点
- 零点位置不一样对
h(t)
的影响:零点若是不抵消极点,则只影响幅度和相位
- 极点不一样则收敛性不一样,决定了系统的稳定性和频域特性
- 有限时间信号分子中有
1−e−sτ
项,有无穷多个零点,可能抵消原来的极点。
系统
叠加性和均匀性
时不变性
响应和激励有相同的延迟
线性时不变系统
因果性
响应不依赖于激励时间之前的信号
h(t)=0,t<0
可逆性
由响应能够肯定激励
稳定性
BIBO
∫|h(τ)|dτ=M<∞
线性系统稳定的充要条件:
∫|h(t)|dt<M<∞
1. 含在右半平面的极点不稳定;含在虚轴上的二阶及以上极点不稳定;仅含虚轴上一阶极点临界稳定;不含右半平面和虚轴上极点稳定。
2. 表达式化简后,含s的项不稳定
3. 系统函数分母多项式的根位于左开平面是必要条件:a. 分母多项式完好项;b. 全部系数的符号相同。
4. 罗斯-霍尔维兹准则
电路微分方程解法
响应
零状态响应+零输入响应
自由响应(暂态响应,衰减到0)+受迫响应(稳态响应,幅值不变)
线性性体如今零状态响应上
线性系统的零状态响应与零输入响应、以及系统的冲激响应或阶跃响应分析,在理论上构成了系统时域分析方法的基础。
冲激响应h(t)
- 与阶跃响应共同点:全频信号,能够反映信号频谱;时域信号能够由此叠加。
- 初始条件为0
- 求解冲激响应
- 能够彻底肯定一个LTI系统
阶跃响应g(t)
卷积
频响
在正弦波激励下的稳态响应。
- 无右半平面极点;
- 左半平面极点稳态响应为0
- 因此响应仍是正弦波
频响的得到:
- 极零点矢量法:
应用方法,借助矢量,分别考察h(s)的幅频和相频响应。
w在虚轴上取几个特殊值。
- 三维图的方法:
判断要点:1. 极点特征;2. 零点特征; 3. 肯定|H(0)|和|H(\infty)|的趋势
全通函数
最小相移函数
任一个因果稳定均可以表示成全通系统和最小相位系统的级联。
失真
群时延:
不失真的系统的群时延是一个正常数。
理想滤波器
理想低通滤波器:不知足因果性,不可实现,不绝对可积,不稳定
理想带通滤波器:不知足因果性,不可实现,不绝对可积,不稳定
理想高通滤波器:不知足因果性,不可实现,不绝对可积,不稳定
四种类型
Butterworth, Chebshev, 椭圆
系统的物理可实现性:佩利-维纳准则(必要条件)、希尔伯特变换
Thanks to Chen Chen