[学习笔记]笛卡尔树

笛卡尔树Cartesian Tree

前言

符合：祖先权值优先级更高，中序遍历是序列自己

类比treap，只不过不平衡

 

既然不如treap平衡，支持操做就少了。

那么支持的操做，复杂度必需要更优了。

 

建树

增量法

i=1~n

用单调栈维护最右边路径上的点

加入i点，从底向上找到第一个能放的位置，放上去，从栈中弹出的链就是左儿子。

中序遍历性质显然能够保证

权值优先级显然能够保证

O(n)

（因此Treap也能够O(n)建树）

 

例题：

求最大矩形

 

1.单调栈直接作。

2.创建小根堆笛卡尔树，每一个点的贡献是：子树sz*高度。正确性显然

 

例题2：

 bzoj2616: SPOJ PERIODNI——笛卡尔树+DP

 

例题3：

• 对于任意排列，定义其权值为：
• 首先求出排列的笛卡尔树
• 对于树上有两个儿子的节点，设儿子的下标位置为 𝑎 和 𝑏
• 版本一：其对权值的贡献为 |pa-pb|
• 版本二：其对权值的贡献为 |𝑎 − 𝑏|
• 假设排列等几率随机，求权值的指望
• 𝑛 ≤ 100

两种不一样的思路：

版本一：

 

关心儿子位置，

f[i][j]大小为i的树，根节点在j位置权值

枚举左儿子和右儿子的位置a,b，再分配编号：C(i-1,a)

能够把f[i][a]+a之类放在一块儿进行前缀和优化

纯粹从计数考虑，还要维护方案数

 

个数从小到大扩展，位置合并并分配编号

还有相对设法

 

版本二：

权值绝对值要去掉，从小到大加入

大的树就是放到叶子了

拼接的时候贡献还要考虑父亲权值很差处理

若是有些点必然会有叶子，那么放下一个权值以前，这些位置直接贡献cnt的答案

相似放书那个题

f[i][j][k]放了前i个数，有j个位置还少两个叶子，k个位置还少一个叶子（对将来承诺！）

 

合并

%%immortalCO

数据结构杂题集第三个有提到

定义关键点：一个树最左边和最右边两个链

关键点只有初始的O(n)个

合并x,y时候，对于x的右链和y的左链，从最底下开始往上找到第一个能放的位置，这一段长度设为len

以后这段关键点会被覆盖住，再也不存在。

而后y的这个点左儿子和x的这个点的右儿子进行相似fhq的合并，也就是通常的暴力合并

因为路径上的点就是两个段的关键点

关键点而后就消失了。

走的长度就是关键点减小的个数

因此均摊O(n)

从最底下开始找，能够用链表而后链表合并。单纯记录每一个点最右边的点也能够

sz什么的pushup就找到了。

（pushup这个不太好找到，最开始一段链很难搞。能够用LCT同时和笛卡尔树合并作，用于打上标记）

挺trick的

 

感悟

具备“treap”的两个性质

对于须要支持操做比较简单的题目，尤为对于序列上有关大小的问题，笛卡尔树的优秀结构可使得处理有计可施