笛卡尔乘积

笛卡尔乘积

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笛卡尔乘积是指在数学中，两个 集合 X和 Y的笛卡尓积（Cartesian product），又称 直积，表示为 X ×  Y，第一个对象是 X的成员而第二个对象是 Y的全部可能 有序对的其中一个成员[1]   。

 

中文名

笛卡尔乘积

外文名

Cartesian product

别    称

直积

表达式

A×B = {(x,y)|x∈A∧y∈B}

提出者

笛卡尔

应用学科

数学

适用领域范围

运算

目录

1. 1 背景
2. 2 定义
3. 3 运算

1. 4 案例
2. 5 代码
3. ▪ C#源代码

1. ▪ 使用说明
2. ▪ python源代码

背景

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笛卡儿1596年3月31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，笛卡儿的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官,笛卡儿在豪华的生活中无忧无虑地度过了童年。

笛卡儿1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位。1616年笛卡儿结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。他投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。

在荷兰长达20多年的时间里，笛卡尔对哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域进行了深刻的研究，并经过数学家梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的主要著做几乎都是在荷兰完成的[2]   。

1628年，笛卡尔写出《指导哲理之原则》，1634年完成了以哥白尼学说为基础的《论世界》。书中总结了他在哲学、数学和许多天然科学问题上的一些见解。1637年，笛卡儿用法文写成三篇论文《折光学》、《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》，哲学史上简称为《方法论》，6月8日在莱顿匿名出版。1641年出版了《形而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等重要著做。

1649年冬，笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂安的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课。因为他身体孱弱，不能适应那里的气候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。长年54岁。1799年法国大革命后，笛卡儿的骨灰被送到了法国历史博物馆[2]   。

定义

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笛卡尔乘积是指在数学中，两个 集合 X和 Y的笛卡尓积（Cartesian product），又称 直积，表示为 X× Y，第一个对象是 X的成员而第二个对象是 Y的全部可能 有序对的其中一个成员[3]   。

假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

相似的例子有，若是A表示某学校学生的集合，B表示该学校全部课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示全部可能的选课状况。A表示全部声母的集合，B表示全部韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为全部可能的汉字全拼。

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，全部这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡尔积，记做AxB.

笛卡尔积的符号化为：

A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}

例如，A={a,b}, B={0,1,2}，则

A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}

B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

运算

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1.对任意集合A，根据定义有

AxΦ =Φ , Φ xA=Φ

2.通常地说，笛卡尔积运算不知足交换律，即

AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）

3.笛卡尔积运算不知足结合律，即

(AxB)xC≠Ax(BxC)（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)

4.笛卡尔积运算对并和 交运算知足 分配律，即

Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)

(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)

Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)

(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)

案例

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给出三个域：

D1=SUPERVISOR = { 张清玫，刘逸 }

D2=SPECIALITY= {计算机专业，信息专业}

D3=POSTGRADUATE = { 李勇， 刘晨， 王敏}

则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：

D=D1×D2×D3 ={(张清玫, 计算机专业, 李勇), (张清玫, 计算机专业, 刘晨),

(张清玫, 计算机专业, 王敏), (张清玫, 信息专业, 李勇),

(张清玫, 信息专业, 刘晨), (张清玫, 信息专业, 王敏),

(刘逸, 计算机专业, 李勇), (刘逸, 计算机专业, 刘晨),

(刘逸, 计算机专业, 王敏), (刘逸, 信息专业, 李勇),

(刘逸, 信息专业, 刘晨), (刘逸, 信息专业, 王敏)}

这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每一个元素加以对应组合，造成庞大的集合群。

本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，若是一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。倘若某个集合是 无限集，那么新的集合就将是有无限个元素[2]   。

代码

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C#源代码

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using  System; using  System.Collections; using  System.Collections.Generic; using  System.Text; using  System.Linq; public  class  Descartes { public  static  void  run(List<List< string >> dimvalue, List< string > result,  int  layer,  string  curstring) { if  (layer < dimvalue.Count - 1) { if  (dimvalue[layer].Count == 0) run(dimvalue, result, layer + 1, curstring); else { for  ( int  i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++) { StringBuilder s1 =  new  StringBuilder(); s1.Append(curstring); s1.Append(dimvalue[layer][i]); run(dimvalue, result, layer + 1, s1.ToString()); } } } else  if  (layer == dimvalue.Count - 1) { if  (dimvalue[layer].Count == 0) result.Add(curstring); else { for  ( int  i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++) { result.Add(curstring + dimvalue[layer][i]); } } } } }

使用说明

（1）将每一个维度的集合的元素视为List<string>,多个集合构成List<List<string>> dimvalue做为输入

（2）将多维笛卡尔乘积的结果放到List<string> result之中做为输出

（3）int layer, string curstring只是两个中间过程的参数携带变量

（4）程序采用递归调用，起始调用示例以下：

List<string> result = new List<string>();

Descartes.run(dimvalue, result, 0, "");

便可得到多维笛卡尔乘积的结果[2]   。

JAVA源代码

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import  java.util.ArrayList; import  java.util.List; //import com.alibaba.fastjson.JSON; public  class  DescartesUtil {      public  static  void  main(String[] args) {          List<List<String>> list =  new  ArrayList<List<String>>();          List<String> listSub1 =  new  ArrayList<String>();          List<String> listSub2 =  new  ArrayList<String>();          List<String> listSub3 =  new  ArrayList<String>();          List<String> listSub4 =  new  ArrayList<String>();          listSub1.add( "1" );          listSub1.add( "2" );          listSub2.add( "3" );          listSub2.add( "4" );          listSub3.add( "a" );          listSub3.add( "b" );          listSub4.add( "c" );          listSub4.add( "d" );          list.add(listSub1);          list.add(listSub2);          list.add(listSub3);          list.add(listSub4);          List<List<String>> result =  new  ArrayList<List<String>>();          descartes(list, result,  0 ,  new  ArrayList<String>());          // System.out.println(JSON.toJSONString(result));      }      /**       * Created on 2014年4月27日       * <p>       * Discription:笛卡尔乘积算法       * 把一个List{[1,2],[3,4],[a,b]}转化成List{[1,3,a],[1,3,b],[1,4       * ,a],[1,4,b],[2,3,a],[2,3,b],[2,4,a],[2,4,b]}数组输出       * </p>       *        * @param dimvalue原List       * @param result经过乘积转化后的数组       * @param layer       *            中间参数       * @param curList       *            中间参数       */      private  static  void  descartes(List<List<String>> dimvalue,              List<List<String>> result,  int  layer, List<String> curList) {          if  (layer < dimvalue.size() -  1 ) {              if  (dimvalue.get(layer).size() ==  0 ) {                  DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer +  1 , curList);              }  else  {                  for  ( int  i =  0 ; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) {                      List<String> list =  new  ArrayList<String>(curList);                      list.add(dimvalue.get(layer).get(i));                      DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer +  1 , list);                  }              }          }  else  if  (layer == dimvalue.size() -  1 ) {              if  (dimvalue.get(layer).size() ==  0 ) {                  result.add(curList);              }  else  {                  for  ( int  i =  0 ; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) {                      List<String> list =  new  ArrayList<String>(curList);                      list.add(dimvalue.get(layer).get(i));                      result.add(list);                  }              }          }      } }

python源代码

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from  itertools  import  product for  x,y,z  in  product([ 'a' , 'b' , 'c' ],[ 'd' , 'e' , 'f' ],[ 'm' , 'n' ]):      # python大法好      print (x,y,z)

参考资料

• 1.  黄宏图,毕笃彦,查宇飞,高山,覃兵. 基于笛卡尔乘积字典的稀疏编码跟踪算法[J]. 电子与信息学报,2015,37(03):516-521. [2017-08-26].
• 2.  JAVA笛卡尔(descartes)乘积运算结果的输出  ．PHP爱好者．2014-05-07[引用日期2015-03-26]
• 3.  黄海圆. 笛卡尔乘积图的配对控制数[D].浙江师范大学,2015.