傅里叶分析讲解三

时间 2020-07-11

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引用：https://www.jianshu.com/p/f5a89d76eb28函数

上一篇中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后获得了在周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数的系数解，那么如何获得任意周期的傅里叶级数呢？spa

咱们先看在周期为 $2\pi$ 的函数傅里叶级数表达:
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) )$
其对应的解为：
$a_0=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)cos(nx)dx$
$b_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)fin(nx)dx$
如何将其变为任意周期的函数呢？.net

其实这里只须要简单的换元操做便可。
举个栗子:
$f(x)=\sin(x)$ 其周期为 $2\pi$ , $f(x)=f(x+2\pi)$ 。咱们令 ,则 $f(x)=f(2t)=f(2t+2\pi)=f(2(t+\pi))$ ,整理下:
$f(2(t))=f(2(t+\pi))$
因此在对于t来讲就变换成了周期为 $\pi$ 的函数。
so对于周期为（方便计算）的函数f(t) 只需令 $x=\frac{\pi}{L}t$ 带入原周期为 $2\pi$ 的函数便可：
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{\pi nt}{L}) +b_nsin(\frac{\pi nt}{L}) )$
一样的能够获得：
$\cos(x)=\cos(\frac{\pi t}{L})$
$\sin(x)=\sin(\frac{\pi t}{L}) )$
$\int_{-\pi}^\pi dx=\int_{-L}^L d\frac{\pi t}{L}$
最后咱们获得:
$a_0=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)dt$
$a_n=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)cos(\frac{\pi nt}{L})dt$
$b_n=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)sin(\frac{\pi nt}{L})dt$ 3d

过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。blog

2 傅里叶级数的复数形式

咱们在写一下傅里叶级数的公式：
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(n \omega t) +b_nsin(n \omega t) ) \\ \omega=\frac{2\pi }{T}$
其中T表明函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:教程

$a_0=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt$
$a_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)dt$
$b_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)sin(n \omega t)dt$

想要获得傅里叶级数的复数形式，须要先了解下欧拉公式。
关于欧拉公式，网上有不少的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。
咱们先看下公式：
$e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$ ci

$e^{i\theta}$ 能够看做是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 $cos(\theta)$ ，到虚轴的投影是 $isin(\theta)$ ，其中 $\theta$ 即是向量与实轴的夹角。get

image.png

而欧拉公式的直观理解就是在复平面上作圆周运动博客

欧拉公式.gif

随着 $\theta$ 变化， $e^{i\theta}$ 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上作圆周运动。数学

并且经过欧拉公式，咱们能够获得三角函数的复数形式：
$\cos(\theta)=\frac{1}{2}(e^{i \theta}+e^{-i \theta}) \\ \sin(\theta)=-\frac{1}{2}i(e^{i \theta}-e^{-i \theta} )$

将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数获得:
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\frac{1}{2}(e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}) -b_n\frac{i}{2}(e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t})) \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty ((a_n\frac{1}{2}e^{i n \omega t}+a_n\frac{1}{2}e^{-i n \omega t}) -(b_n\frac{i}{2}e^{i n \omega t}- b_n\frac{i}{2}e^{-i n \omega t})) \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty ((\frac{a_n-b_ni}{2}e^{i n \omega t}+\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t}) ) \\ =\sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2} e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n-b_ni}{2}e^{i n \omega t})+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t} )$
咱们令 $\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t} )$ 中的n为-n
则获得：
$f(t)=\sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2} e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n-b_n}{2}e^{i n \omega t})+\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}e^{-i -n \omega t} )$
因此能够看到n的范围变成了 $-\infty$ 到 $\infty$ ，而且每一项都有 $e^{i n \omega t}$ ，因而咱们能够获得一个漂亮的形式：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega t}$

其中分为3中状况：
$n=0 \quad\quad C_n=\frac{a_0}{2} \\ n=1,2,3... \quad C_n=\frac{a_n-b_ni}{2}\\ n=-1,-2,-3... \quad C_n=\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}$

咱们将傅里叶级数以前的解带入上边
$a_0=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)dt \\ b_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)sin(n \omega t)dt$

当n=0的时候：

$n=0 \quad\quad C_n=\frac{a_0}{2}=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt = \frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-n \omega t}dt\\$

当的时候

这里由于cos是偶函数，sin是奇函数因此：

当的时候

能够惊奇的发现，三种状况的解是同样的。因此对于任意周期函数，咱们均可以写成:
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega t} \\ C_n=\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt$
但其中的每一项是什么意思呢？
还记得以前说的 $e^{i\theta}$ 的本质吗？在圆上作圆周运动，那么 $e^{-in \omega t}$ 也是在作周期运动了。那 $n\omega$ 又是什么呢？
咱们知道 $\omega=\frac{2\pi }{T}$ ，因此咱们能够把 $\omega$ 当作是以 $2\pi$ 为单位的频率(正常来说频率是 $\frac{1}{T}$ )。而系数是就能够当作是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了
，但其最小公共周期是同样的。
1倍基频

1倍频.gif

10倍基频

10倍频.gif

那么系数怎么理解呢？前面说过 $ae^{i\theta}$ 的系数a是表明 $e^{i\theta}$ 运动的圆半径，这里是复数是否是也能这样理解呢？其实粗糙来说是能够这样理解的。
看个图，只管的理解下把

gif1.gif

上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数 $C_n=\sqrt2+i\sqrt2$ ,因此红色向量运动的半径就是2恰好是复数 $\sqrt2+i\sqrt2$ 的模长乘以1，固然除此以外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是由于复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。
这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的 $\omega$ ,而每一个 $\omega$ 都有本身的幅长,当把这些全部的 $\omega$ 相加，就获得时域中的图像。

更加生动有趣的介绍能够参见傅里叶分析之掐死教程，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。

3 推广到非周期函数上

目前该证实的都差很少了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，咱们能够当作是周期无限远的函数，那也就是周期T变成 $\infty$ 的时候傅里叶级数。随则T的变大也就不断的减少，当T趋近于 $\infty$ 的时候，也由变成了 $\Delta w$ ，那么很天然就须要对作积分。

咱们先看下
$\Delta w=(n+1)w-nw=w=\frac{2\pi}{T} \\ \frac{1}{T} =\frac{\Delta w}{2\pi}\\$

当T趋近于 $\infty$ 的时候咱们能够获得：
$\int_{0}^T f(t)dt \quad -> \quad \int_{-\infty}^\infty f(t)dt\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta w \quad -> \quad \int_{-\infty}^\infty dw$
将这些带入傅里叶级数,而且T趋近于 $\infty$ ，就获得:
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt e^{in\omega t} \\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt e^{in\omega t}\\ =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt e^{i\omega t}dw$
其中画红圈的地方就是傅里叶变换

image.png

通常写成一个关于的函数，其实就至关于前面的:

而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：
$F^{-1}(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt e^{i\omega t}dw=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(w) e^{i\omega t}dw$

傅里叶分析讲解三

2 傅里叶级数的复数形式

当n=0的时候：

当 的时候

3 推广到非周期函数上

当的时候