贝叶斯定理

定义

贝叶斯定理是关于随机事件 A 和 B 的条件几率：

其中P(A|B)是在 B 发生的状况下 A 发生的可能性。

在贝叶斯定理中，每一个名词都有约定俗成的名称：

P(A)是 A 的先验几率，之因此称为“先验”是由于它不考虑任何 B 方面的因素。
P(A|B)是已知 B 发生后 A 的条件几率，也因为得自 B 的取值而被称做 A 的后验几率。
P(B|A)是已知 A 发生后 B 的条件几率，也因为得自 A 的取值而被称做 B 的后验几率。
P(B)是 B 的先验几率，也做标淮化常量（normalizing constant）。

按这些术语，贝叶斯定理可表述为：

后验几率 = (类似度 * 先验几率)/标淮化常量

也就是说，后验几率与先验几率和类似度的乘积成正比。

另外，比例P(B|A)/P(B)也有时被称做标淮类似度（standardised likelihood），Bayes定理可表述为：

后验几率 = 标淮类似度 * 先验几率

示例一：应当根据新状况更新先验几率

假设有两个各装了100个球的箱子，甲箱子中有70个红球，30个绿球，乙箱子中有30个红球，70个绿球。假设随机选择其中一个箱子，从中拿出一个球记下球色再放回原箱子，如此重复12次，记录获得8次红球，4次绿球。问题来了，你认为被选择的箱子是甲箱子的几率有多大？

调查结果显示，大部分人都低估了选择的是甲箱子的几率。根据贝叶斯定理，正确答案是96.7%。下面容我来详细分析解答。

刚开始选择甲乙两箱子的先验几率都是50%，由于是随机二选一（这是贝叶斯定理二选一的特殊形式）。即有：

P(甲) = 0.5， P(乙) = 1 - P(甲)；

这时在拿出一个球是红球的状况下，咱们就应该根据这个信息来更新选择的是甲箱子的先验几率：

P(甲|红球1) = P(红球|甲) × P(甲) / (P(红球|甲) × P(甲) + (P(红球|乙) × P(乙)))
P(红球|甲)：甲箱子中拿到红球的几率
P(红球|乙)：乙箱子中拿到红球的几率

所以在出现一个红球的状况下，选择的是甲箱子的先验几率就可被修正为：

P(甲|红球1) = 0.7 × 0.5 / (0.7 × 0.5 + 0.3 × 0.5) = 0.7

即在出现一个红球以后，甲乙箱子被选中的先验几率就被修正为：

P(甲) = 0.7， P(乙) = 1 - P(甲) = 0.3；

如此重复，直到经历8次红球修正（几率增长），4此绿球修正（几率减小）以后，选择的是甲箱子的几率为：96.7%。

 

参考http://blog.csdn.net/kesalin/article/details/40370325/