Lorenz混沌系统建模与电路仿真实现

混沌是确定性非线性系统中产生的一种伪随机行为，呈现初值敏感性。随着混沌理论在通信与雷达等工程领域得到日渐广泛地应用，构建实际的混沌系统，产生混沌信号成为近来研究领域的一个热点。混沌系统的实现为混沌理论应用奠定了重要的基础，并推动了混沌理论研究的进一步发展。

本论文首先总体上介绍了本课题的研究背景和研究意义，然后具体地解释了混沌的一些基本概念。阐述各种混沌系统族数学模型的建立、理论分析、电路实现方法和仿真结果，特别是基于Matlab的Lorenz混沌系统建模与电路仿真实现，重点讨论了Lorenz混沌系统的相关理论。最后由于本文详细介绍了一种基于FPGA技术的Lorenz混沌信号发生器，并对系统进行了仿真。

混沌是当今世界的前沿课题，它揭示了自然界和人类社会中普遍存在的复杂性：有序与无序的统一，确定性与概率性的统一，大大开拓了人们的视野，加深了对客观世界的认识。混沌的发现，乃是继二十世纪相对论与量子力学之后的第三次物理学大革命，这场革命正在冲击和改变着几乎所有的科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战。

混沌科学首先向我们提出这样一个带有根本性质的问题:人们是生活在一个确定性的宇宙中，还是生活在一个概率性的宇宙中?这是科学家和哲学家们长期以来所探讨的一个对世界带有根本性看法的重要问题，但一直未能得到完满的解决。混沌理论正在缩小这两个对立描述体系之间的鸿沟：混沌是确定性系统的内在随机性，是确定性与概率性辩证统一的世界。混沌运动乃是自然界中的一种基本的运动形态之一。

混沌究竟有何应用前景？这是摆在当今世界面前的重大课题。由于混沌的奇异特性(奇怪吸引子)，特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性和不稳定性，即所谓的“差之毫厘，失之千里“的缘故，使得长期以来人们总是认为混沌是不可靠和不可控的，因而是无法应用的怪物，在应用及工程领域以往总是采取回避和抵制的态度。例如，人们在电子系统的分析和设计中总是想方设法避免混沌的出现，力求系统的稳定性和可靠性。这种对混沌的片面认识与思维模式长期以来制约了混沌理论的发展与应用。由此人们联想到前二次物理学革命所经历的过程与此有很大的相似性。九十年代以来在国际上混沌的控制及同步理论的突破性进展，由此激发起来的理论与应用研究得到迅速发展，使得混沌的应用与发展出现了契机。通过对混沌较深层次的研究，人们发现混沌是可控制和同步的。特别值得一提的是：混沌同步及混沌控制方法，在1990年由美国海军实验室研究人员Pecora和Carroll等人提出，使得混沌在通信领域中的应用成为可能，这一历史性的重大发现将使混沌应用于通信领域成为可能，导致了二十一世纪的一种全新的通信方式—混沌同步通信，被誉为混沌理论与应用的一个新的里程碑，从此揭开了混沌同步通信的新篇章。从混沌理论的产生与形成到混沌的控制与应用这一历史发展进程充分说明:混沌科学正在改变人们以往的思维模式，丰富和发展了人们的自然观和认识论阵。

1.2 课题研究的目的和意义

混沌学研究对现代科学发展产生了巨大的影响。混沌学研究从其早期探索到重大突破，以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、化学、生物学、气象学和经济学等众多学科，其研究的成果渗透和影响着现代科学的几乎整个学科体系。混沌学的研究揭开了现代科学发展的新篇章。混沌研究对于现代科学的影响不仅限于自然科学，而且涉及到经济学、社会学、哲学及诸多人文科学，可以说几乎覆盖了一切学科领域。凡是涉及动力学过程的研究领域，大多都会发现混沌，都需要应用混沌动力学的研究成果。在传统的经典科学领域，若按照混沌观点重新考察，就会发现新现象，提出新问题、建

立新原理：而在一些非经典科学领域，运用混沌理论则可以解释以往无法解释的现象，可以处理历来无法处理的数据，甚至形成一批新的学科分支。混沌对于现代科学更深刻的影响，主要在于在广阔的科学领域里推翻了经典理论的一些基本假设，改变了那些领域的研究方法，将可能孕育成一场科学大革命。混沌学研究还革新了经典的科学观。在混沌发现之前，人们长期以为确定性系统排斥随机性，随机性只是某些复杂系统的属性。然而混沌研究表明:一些完全确定性的系统，不外加任何随机因素，初始条件也是确定的，但系统自身却会内在的产生随机行为，而且即使是非常简单的确定系统同样具有内在随机性。混沌揭示的随机性存在于确定性之中这一科学事实，最有力的说明客观实体可以兼有确定性和随机性;从牛顿到爱因斯坦都认为世界在本质上是有序的，有序等于有规律，无序就是无规律，系统有序和无序是截然对立的。这个观点几个世纪以来一直为人们所赞同，但是混沌和分形的发现和研究表明，混沌既包含有序又包含无序，混沌既不是具有周期性和其他明显对称性的有序态，也不是绝对的无序，而可以认为是必须用奇怪吸引子来刻画的复杂有序，是一种蕴涵在无序中的有序。

混沌研究还对传统方法论的变革有重大贡献，其中最突出的是从还原论到系统论的转变。经典的还原论认为，整体的或高层次的性质还可以还原为部分的或低层次的性质。然而随着近代科学的发展，包括对混沌现象的探索，还原论到处碰壁。上世纪50年代，系统论思想开始形成，主张把研究的对象作为一个系统来处理。混沌是系统的一种整体行为，混沌学的研究成果成了系统论的有力佐证。整体观和系统论正随着混沌学一起扩展到各个现代学科领域，为现代科学的革命性变革做着方法论的准备。混沌作为当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，不仅大大拓展了人们的视野并加深了对客观世界的认识，而且由于混沌的奇异特性，还促使人们研究在现实生活中控制和利用混沌的方法。近年来，国际上混沌同步及混沌控制的研究己取得了一些突破性进展，前景十分诱人。我们完全有理由相信，混沌的进步不仅孕育着深刻的科学革命，而且一定会促进社会生产力的大力发展，对人们的生活和生产产生巨大的根本性影响。

Lorenz在1963年洛伦兹在研究大气对流现象时，发现了第一个结构简单的三维自治混沌系统，这就是著名的“蝴蝶效应”模型，其数学模型为：

当r≤1时，对所有的x，y，z都成立，等式仅在r<1，x=y=z=0和r=1，x=y，z=0时才成立。

当r>1时，系统开始出现不稳定性，当r增加至rc时，有一个亚临界的Hopf分岔。

当r>rc时，在吸引子附近相邻的轨道平均来说是以指数分离的，所以两条开始在一起非常接近的轨道很快丧失所有的相关性，呈现混沌状。

5.2 Lorenz混沌系统的MATLAB仿真

在MATLAB环境下运行以上程序代码，输入程序运行起点（x0，y0，z0），程序运行时间（t0，tf），参数（a，b，r）后，可得到三维相平面图仿真结果，如图5-1所示。

    

图5-1 x-y面，y-z面，y-z面

图5-2 Lorenz相平面图

将系数进行量化，假设1量化后为1111_1111_1111_1111_1111_1111，即FFFFFF，那么我们可以得到

0.99     ： FD70A2；

0.01     ： 028F5C；

0.028    ： 072B02；

0.001    ： 004189；

0.999    ： FFBE75；

0.9973333： FF513B；

这里的计算结果均为24位，所以在FPGA中编写硬件描述语言的时候，我们也要采用24位的计算方法。当乘法器相乘得到48位结果的时候，通过截位得到24位结果。然后参与下一级的运算。

6.2.1乘法器

    该乘法器，我们采用IP核来完成。

图6-2 乘法器IP核生成步骤1

下一步：

图6-3 乘法器IP核生成步骤2

下一步：

图6-4 乘法器IP核生成步骤3

下一步：

图6-5 乘法器IP核生成步骤4

下一步：

图6-6 乘法器IP核生成步骤5

完成，对该核进行仿真，仿真结果如下所示：

图6-7 乘法器IP核仿真

6.2.2加/减法器

    这个模块比较简单，只要用简单的代码就能实现。这里我们就不做具体的介绍了。其仿真结果如下所示：

图6-8 加法仿真结果

图6-9 减法仿真结果