图论动态规划算法——Floyd最短路径

时间 2019-11-24

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前言

推出一个新系列，《看图轻松理解数据结构和算法》，主要使用图片来描述常见的数据结构和算法，轻松阅读并理解掌握。本系列包括各类堆、各类队列、各类列表、各类树、各类图、各类排序等等几十篇的样子。mysql

Floyd算法

Floyd是一种经典的多源最短路径算法，它经过动态规划的思想来寻找给定加权图中的多源点之间的最短路径，算法时间复杂度是O(n3)。之因此叫Floyd是由于该算法发明人之一是Robert Floyd，他是1978年图灵奖得到者，同时也是斯坦福大学计算机科学系教授。算法

核心思想

对于n个点的加权图，从加权图的权值矩阵开始，递归地更新n次最终求得每两点之间的最短路径矩阵。即加权图的邻接矩阵为 $D=(d_{ij})_{n \times n}$ ，按必定公式对该矩阵进行递归更新，初始时矩阵为D(0)，第一次，根据公式用D(0)构建出矩阵D(1)；第二次，根据公式用D(1)构建出矩阵D(2)；以此类推，根据公式用D(n-1)构造出矩阵D(n)，D(n)即为图的距离矩阵，i行j列表示顶点i到顶点j的最短距离。sql

动态规划

如何理解这种动态规划算法呢？能够理解为逐一选择中转点，而后针对该中转点，全部以此为中转点的其它点都要根据规定进行更新，这个规定就是原来两点之间的距离若是经过该中转点变小了则更新距离矩阵。好比选择“1”做为中转点，原来“02”之间的距离为5，经过中转点1后（即路径变为“012”）距离为4，变小了，那么就更新距离矩阵对应的元素，由5更新为4。当图中全部顶点都被做为中转点处理之后，那么获得的最后距离矩阵就是多源最短距离矩阵了。数组

设为i到j的中间节点编号不超过k的最短距离，当k=0时， $c(i,j,0)=d_{ij}$ ，对于n个顶点的图，咱们要求的i到j的最短距离便是。bash

如今咱们创建和之间的递归关系，对于任意k，，因而能够根据该递归关系获得最终的最短路径，即中间节点编号不超过n-1的最短距离。网络

算法过程

从任意一条单边路径开始，全部两点之间的距离是边的权重，若是两点之间没有边相连，则权重为无穷大。即用数组 $D=(d_{ij})_{n \times n}$ 来记录i,j之间的最短距离，初始时，若i=j则dis[i][j]=0。若i、j两点之间相连则dis[i][j]的值为该边的权值。若i、j两点没有相连则dis[i][j]的值为无穷。
对于每一对顶点u和v，看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比已知的路径更短，若是存在则更新。即对全部的k值(1<k<n)，计算(d[i][k]+d[k][j])的值，若其小于d[i][j],则d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]，不然d[i][j]的值不变。

神奇的五行代码

Floyd算法核心就是下列五行代码，能够体会一下，三个for循环嵌套，最外层的k便是循环取不一样中转点时的状况，分别让图中每一个顶点做为中转点去更新距离，完成全部循环后就是最终的最短距离矩阵。数据结构

for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++) 
            if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]) 
                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
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优缺点

优势：容易理解，能够算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单。对于稠密图效果最佳，边权可正可负。并发

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。机器学习

执行过程

对于一个拥有7个顶点的无向加权图，分别用0-6来表示图的每一个顶点，每条边上的数字为对应的权重。数据结构和算法

首先根据每条边的权重来初始化距离矩阵，这是一个[7x7]的矩阵，行列分别对应两个顶点，好比第0行第1列表示顶点0到顶点1，对应的值为3，即权值为3。以此类推，其它元素分别表明对应边的权重。

当以顶点0为中转点时

逐一查找看是否有以0为中转点使得距离更短，实际上并不用比较全部矩阵的元素，只需比较知足if (i != j && j != k && i != k)条件的元素，即都为0的对角线和中转点对应的行列不用比较，由于对角线上的元素表示顶点本身到本身的距离，因此无需比较，而中转点对应的行列表示顶点到中转点的距离，也无需比较。

比较d[1][2]与d[1][0]+d[0][2]，由于1<3+5，因此不更新d[1][2]。