Python小白的数学建模课-B3. 新冠疫情 SIS模型

传染病的数学模型是数学建模中的典型问题，常见的传染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SIS 模型型将人群分为 S 类和 I 类，考虑患病者能够治愈而变成易感者，但不考虑免疫期。

本文详细给出了 SIS 模型的建模、例程、运行结果和模型分析，让小白都能懂。

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1. 疫情传播 SIS 模型

传染病动力学是对传染病进行定量研究的重要方法。它依据种群繁衍迁移的特性、传染病在种群内产生及传播的机制、医疗与防控条件等外部因素，创建能够描述传染病动力学行为的数学模型，经过对模型进行定性、定量分析和数值计算，模拟传染病的传播过程，预测传染病的发展趋势，研究防控策略的做用。

1.1 SI 模型

SI 模型把人群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类，易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者，无潜伏期、无治愈状况、无免疫力。

SI 模型适用于只有易感者和患病者两类人群，且没法治愈的疾病。

按照 SI 模型，最终全部人都会被传染而变成病人，这是由于模型中没有考虑病人能够治愈。所以只能是健康人患病，而患病者不能恢复健康（甚至也不会死亡，而是不断传播疫情），因此终将所有被传染。

1.2 SIS 模型

SIS 模型将人群分为 S 类和 I 类，考虑患病者（I 类）能够治愈而变成易感者（S 类），但不考虑免疫期，所以患病者（I 类）治愈变成易感者之后还能够被感染而变成患病者。

SIS 模型适用于只有易感者和患病者两类人群，能够治愈，但会反复发做的疾病，例如脑炎、细菌性痢疾等治愈后也不具备免疫力的传染病。

SIS 模型假设：

1. 考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或人口流动；
2. 人群分为易感者（S类）和患病者（I类）两类；
3. 易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者；患病者（I类）可被治愈而变为易感者，无潜伏期、无免疫力；
4. 每一个患病者天天有效接触的易感者的平均人数（日接触数）是 \(\lambda\)，称为日接触率；
5. 天天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例为 \(\mu\) ，即日治愈率；
6. 将第 t 天时 S类、I 类人群的占比记为 \(s(t)\)、\(i(t)\)，数量为 \(S(t)\)、\(I(t)\)；初始日期 \(t=0\) 时， S类、I 类人群占比的初值为 \(s_0\)、\(i_0\)。

须要说明的是，不考虑生死或人口流动，一般是因为考虑一个封闭环境并且假定疫情随时间的变化比生死、迁移随时间的变化显著得多, 所以后者能够忽略不计。

SIS 模型的微分方程：

由

\[\begin{align*} N\frac{di}{dt} = N \lambda s i - N \mu i \end{align*} \]

得：

\[\begin{align*} \frac{di}{dt} = \lambda i (1-i) - \mu i，\ i(0) = i_0 \end{align*} \]

由日治愈率 \(\mu\) 可知平均治愈天数为 \(1/\mu\)，也称平均传染期。定义 \(\sigma = \lambda / \mu\)，其含义是每一个病人在传染期内所传染的平均人数，称为传染期接触数。例如，平均传染期 \(1/\mu = 5\)，日接触率 \(\lambda = 2\)（天天传染 2人），则传染期接触数 \(\sigma = 10\)。

SIS 模型的解析解为：

\[\begin{cases} \begin{aligned} & i(t)=\frac{i_0}{1+\lambda t i_0}&,\lambda = \mu\\ & i(t)=[\frac{\lambda}{\lambda-\mu} + (\frac{1}{i_0}-\frac{\lambda}{\lambda-\mu})*e^{-(\lambda - \mu) t}]^{-1} &,\lambda \neq \mu\\ \end{aligned} \end{cases}\\ \]

注意：网上有些博文中解析解的公式误写成 \(exp((\lambda-\mu)t)\) ，漏掉了一个负号。

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2. SIS 模型的 Python 编程

2.1 Scipy 工具包求解 SIS 模型

SIS 模型是常微分方程初值问题，可使用 Scipy 工具包的 scipy.integrate.odeint() 函数求数值解。

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=())

**scipy.integrate.odeint() **是求解微分方程的具体方法，经过数值积分来求解常微分方程组。

odeint() 的主要参数：

• func: callable(y, t, …) 　　导数函数 \(f(y,t)\) ，即 y 在 t 处的导数，以函数的形式表示
• y0: array：　　初始条件 \(y_0\)，对于常微分方程组 \(y_0\) 则为数组向量
• t: array：　　求解函数值对应的时间点的序列。序列的第一个元素是与初始条件 \(y_0\) 对应的初始时间 \(t_0\)；时间序列必须是单调递增或单调递减的，容许重复值。
• args: 向导数函数 func 传递参数。当导数函数 \(f(y,t,p1,p2,..)\) 包括可变参数 p1,p2.. 时，经过 args =(p1,p2,..) 能够将参数p1,p2.. 传递给导数函数 func。

odeint() 的返回值：

• y: array 　　数组，形状为 (len(t),len(y0)，给出时间序列 t 中每一个时刻的 y 值。

odeint() 的编程步骤：

1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包；
2. 定义导数函数 \(f(i,t)=\lambda i (1-i)- \mu i\) ；
3. 定义初值 \(y_0\) 和 \(y\) 的定义区间 \([t_0,\ t]\)；
4. 调用 odeint() 求 \(y\) 在定义区间 \([t_0,\ t]\) 的数值解。

2.2 Python例程：SIS 模型的解析解与数值解

# 1. SIS 模型，常微分方程，解析解与数值解的比较
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np  # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 matplotlib包

def dy_dt(y, t, lamda, mu):  # SIS 模型，导数函数
    dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y  # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
    return dy_dt

# 设置模型参数
number = 1e5  # 总人数
lamda = 1.2  # 日接触率, 患病者天天有效接触的易感者的平均人数
sigma = 2.5  # 传染期接触数
mu = lamda/sigma  # 日治愈率, 天天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
fsig = 1-1/sigma
y0 = i0 = 1e-5  # 患病者比例的初值
tEnd = 50  # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1)  # (start,stop,step)
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))

# 解析解
if lamda == mu:
    yAnaly = 1.0/(lamda*t +1.0/i0)
else:
    yAnaly= 1.0/((lamda/(lamda-mu)) + ((1/i0)-(lamda/(lamda-mu))) * np.exp(-(lamda-mu)*t))
# odeint 数值解，求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,0))  # SI 模型
ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,mu))  # SIS 模型

# 绘图
plt.plot(t, yAnaly, '-ob', label='analytic')
plt.plot(t, ySIS, ':.r', label='ySIS')
plt.plot(t, ySI, '-g', label='ySI')

plt.title("Comparison between analytic and numerical solutions")
plt.axhline(y=fsig,ls="--",c='c')  # 添加水平直线
plt.legend(loc='best')  # youcans
plt.axis([0, 50, -0.1, 1.1])
plt.show()

2.3 SIS 模型解析解与数值解的比较

本图为例程 2.2 的运行结果，图中对解析解（蓝色）与使用 odeint() 获得的数值解（红色）进行比较。在该例中，没法观察到解析解与数值解的差别，代表数值解的偏差很小。

本图也比较了对相同日接触率和患病者初值下 SI模型与 SIS模型进行了比较。SI 模型更早进入爆发期，最终收敛到 100%；SIS 模型下进入爆发期较晚，患病者的比例最终收敛到某个常数（与模型参数有关）。

考察 SI 模型与 SIS模型的关系，显然 SI 模型是 SIS 模型在 \(\mu = 0\) 时的特殊状况。

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3. SIS 模型参数的影响

对于 SIS 模型，须要考虑日接触率 \(\lambda\) 与日治愈率 \(\mu\) 的关系、患病者比例的初值 \(i_0\) 的影响，总人数 N 没有影响。

3.1 日接触率 \(\lambda\) 与日治愈率 \(\mu\) 关系的影响

直观地考虑，若是天天治愈的人数高于感染的人数，则疫情逐渐好转，不然疫情逐渐严重。所以日接触率 \(\lambda\) 与日治愈率 \(\mu\) 的关系很是关键，这就是传染期接触数 \(\sigma = \lambda / \mu\) 的意义。

（1） \(\sigma \leq 1\)

当 \(\sigma<1\) 时，传染期接触数小于 1，日接触率小于日治愈率，患病率单调降低，最终清零，与患病率初值无关。 \(\sigma\) 越小，疫情清零速度越快； \(\sigma\) 越接近于 1，疫情清零越慢，但最终仍将清零。

分析其实际意义，传染期接触数小于 1，代表在传染期内通过接触而使易感者变成患病者的数量，小于在传染期内治愈的患病者的数量，所以患病者数量、比例都会逐渐下降，因此最终能够清零，称为无病平衡点。

当 \(\sigma=1\) 时，不论患病率初值如何，患病率也是单调降低，最终趋近于 0。虽然在数学上患病率只能趋近于 0 而不等于 0，但考虑到总人数 N 是有限的，而患病者和易感者人数须要取整，所以 \(\sigma=1\) 时最终也会清零。

（2） \(\sigma > 1\)

当 \(\sigma>1\) 时，传染期接触数大于 1，日接触率大于日治愈率，患病率的升降有两种状况：

• 当患病率很低时，患病者人数少而易感者人数多，患病率上升；但随着患病率增大，患病者愈来愈多而易感者愈来愈少，患病率虽然仍然上升但上升速度趋缓，最终趋于定值。
• 当患病率很高时，患病者人数多而易感者人数少，患病率降低；但随着患病率减少，患病者愈来愈少而易感者愈来愈多，患病率虽然仍然降低但降低速度趋缓，最终也趋于相同的定值。
• 患病率最终都会收敛到稳态特征值 \(i_\infty=1-1/\sigma\)。当 \(i_0>i_\infty\) 即患病率初值大于稳态特征值时，疫情曲线单调上升收敛；当 \(i_0<i_\infty\) 即患病率初值小于稳态特征值时，疫情曲线单调降低收敛；当 \(i_0 = i_\infty\) 时，患病率始终大于稳态特征值，疫情曲线为水平直线。

这代表，当 \(\sigma>1\) 时疫情终将稳定但不会清零，而是长期保持必定的患病率，称为地方病平衡点。

当 \(\sigma=1\) 时，不论患病率初值如何，患病率都单调降低并最终趋于 0。

3.2 传染期接触数 \(\sigma\) 与 $ di/dt$ 的关系

患病率的一阶导数 \(di/dt\) 的变化曲线，代表不论传染期接触数和初值如何，患病率的变化率都将收敛到 0，所以疫情终将稳定。当 \(\sigma<1\) 时， \(di/dt\) 始终是负值，单调上升趋近于 0； 当 \(\sigma>1\) 时， \(di/dt\) 始终是正值，先上升达到峰值后再逐渐减少趋近于 0。

本图为患病率 \(i(t)\) 与一阶导数 \(di/dt\) 在不一样传染期接触数下的关系曲线（相空间图）。当 \(\sigma\leq 1\) 时，曲线收敛到原点 \((0,0)\)，即存在无病平衡点； 当 \(\sigma>1\) 时，曲线收敛到 \((1-1/\sigma,0)\)，即存在地方病平衡点。

3.3 Python例程：传染期接触数 \(\sigma\) 与 $ di/dt$ 的关系

# 4. SIS 模型，模型参数对 di/dt的影响
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np  # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 matplotlib包

def dy_dt(y, t, lamda, mu):  # SIS 模型，导数函数
    dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y  # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
    return dy_dt

# 设置模型参数
number = 1e5  # 总人数
lamda = 1.2  # 日接触率, 患病者天天有效接触的易感者的平均人数
# sigma = np.array((0.1, 0.5, 0.8, 0.95, 1.0))  # 传染期接触数
sigma = np.array((0.5, 0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0))  # 传染期接触数
y0 = i0 = 0.05  # 患病者比例的初值
tEnd = 100  # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,0.1)  # (start,stop,step)

for p in sigma:
    ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,lamda/p))  # SIS 模型
    yDeriv = lamda*ySIS*(1-ySIS) - ySIS*lamda/p
    # plt.plot(t, yDeriv, '-', label=r"$\sigma$ = {}".format(p))
    plt.plot(ySIS, yDeriv, '-', label=r"$\sigma$ = {}".format(p)) #label='di/dt~i'
    print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,lamda/p,p,(1-1/p)))

# 绘图
plt.axhline(y=0,ls="--",c='c')  # 添加水平直线
plt.title("i(t)~di/dt in SIS model") # youcans-xupt
plt.legend(loc='best')
plt.show()

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4. SIS 模型结果讨论

SIS 模型代表：

1. 若 \(\sigma > 1\)，则 \(\lim\limits_{t \to \infty} i(t) = 1-1/\sigma\)， 代表患病者始终存在，成为地方病。
2. 若 \(\sigma \leq 1\)，则 \(\lim\limits_{t \to \infty} i(t) = 0, (\sigma\leq 1)\) ，代表患病者人数不断减小，最终能够清零。
3. SIS 模型说明，对于传染病，须要对患病者进行隔离以减小有效接触，经过减小日接触率 \(\lambda\) 来减少接触数 \(\sigma\) ，打破传播链，最终控制疫情。

须要指出的是，本文讨论的 SIS模型是把考察地区视为一个疫情均匀分布的总体进行研究。实际上，在考察区域的疫情分布必然是不均衡的，可能在局部区域发生疫情爆发致使该区域患病人数激增，是否会影响 SIS 模型的演化过程和稳定性呢？相关研究代表，扩散速度的不一样可能致使种群空间分布的差别，在低风险区域将达到无病平衡点，在高风险区域仍将达到地方病平衡点。

【本节完】

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