2018研究生数学建模竞赛B题-光传送网建模与价值评估-竞赛总结

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2018研究生数学建模竞赛B题-光传送网建模与价值评估-竞赛总结

这道赛题是有关通讯方面的赛题,初步读题,感到第一问和第二问关系不大,第二问和第三问关系也不大,不过第一问和第三问有比较紧密的顺承关系.

1-1

第一问主要讨论在光纤通讯环境下,与光信号传输有关的调制解调的误码率问题.在题设条件中,纠前误码率(BER)只与信噪比(SNR)有关.所以题目要求咱们创建数学模型描述二者的关系.

对于该问题有两种思路:

1. 创建机理模型

也就是经过对光纤中的入纤信号,与信号噪声进行几率描述,而后推导出出纤信号的几率描述,从而经过对几率密度函数的二重积分,直接计算出二者的解析关系.

1. 实验模型

也就是使用计算机仿真的方式,经过大量的实验,模拟信号输入,编码,噪声输入,解码,计算误码率的过程,对误码率进行计算.根据大数定律,大量实验的结果会趋近于第一种思路的机理模型的解.

1. 两种方法的比较

第一种方法有着更强的数学要求,可是推到的结果显示,最后的结果是一个正态分布函数的二重积分的加权和.计算这个函数的积分其实十分困难,仍是要借助数值计算的工具或者查表.没法有效的获得一条表达式.

第二种方法较容易实现,可是在试验次数较小的状况下,获得的曲线会引入较大偏差.形成求解曲线的不平滑.所以获得平滑的曲线须要花费较大的计算时间.在个人电脑上计算时间大概有半个小时.

在这里给出一张求解图.

1-2

第二问主要是对整个传输的光路进行建模,要考虑光在线缆中引入的噪声,光放大器引入的噪声,光在线缆中的功率衰减等因素,结合上文中算出的一个参数求解传输链路的段数.

在这里给出模型和结果.

结果

2-1

第二问彷佛与第一问没有必然的联系,这是一个整数规划的问题,特别是在第一问中,这个证书规划很是的纯粹,所以能够直接创建整数规划的模型,使用相应的求解器进行求解.

咱们将问题直接转化成了MIP问题,而后使用GUROBI工具进行求解.

转化成的问题以下图.

其中Cij 表示 i 节点与 j 节点之间的传输容量,可依据节点间的距离选择相应的传输格式,从而判断传输容量的大小。本文认为,若要使网络价值最大化,必需要以容量利用率最大为标准来分配传输格式。

λ ij 表示 i 节点与 j 节点之间链路的权重,M 为光传输网络的节点数。
H i ,H j 分别表示 i 节点和 j 节点的人口数。当全部节点的连接状况由决策
信息R ij 肯定时,目标函数值中相应的未知变量可进一步求出并肯定目标函数值.

约束中限制了网络链接数,和孤立链路数量.

值得一题的是孤立链路这个约束.

在一开始咱们解出的解以下图:

能够看到,获得的解并非一个连通的图.可是做为一个光纤网络来讲,必然要求咱们解出一个连通图.所以咱们加入了孤立链路这个新的约束.

这个约束能够保证全部组成的集合(全集和空集除外)都与其余点是连通的.加入当前约束后获得的解以下图所示.

对于33条链路的是这样的.

2-2

第二问考虑到中转节点的问题,最初考虑在第一问的基础上进行拓展,为每条路段增长一个分配变量,也就是在这些变量中描述当前路段的资源是否进行分配,分配给谁.

而后经过增长约束条件约束分配必须知足题设需求.可是求解过程发现这样的求解占用太多资源.所以咱们考虑将问题转化成为了一个层次优化的问题.在描述这个问题前,咱们经过一些数学推导将问题稍做简化.

首先,中转通讯的可行性分析.

一条线路进行中转的可行性,主要是由引入这些中转是否会带来目标(网络价值)的提高判断的.
若是引入这些中转能够将网络价值进行提高,那么系统将责无旁贷的引入这些中转通讯,若是不能,中转通讯将必定不会被引入.

所以在引入的价值该如何度量呢?

看下图:

也就是说,当权重保持不变的状况下. 引入中转通讯彻底归结为节点的人口问题,对于三个节点的判断来讲.当中间点城市的人口数足够小的状况下,引入中间节点通讯是有好处的.

下面咱们来进行更加复杂的分析.

当有多个城市须要占用同一个节点中转时,节点将为哪个城市服务的问题.这个问题一样该从网络价值的角度分析.就是说咱们要比较为谁服务能够得到更多的网络价值.

可是这个问题就没有前面的问题那样纯粹了,由于这将变成一个总体性的问题.也是一个规划问题.为了有效解决这个问题,本文件问题描述为一个两层的最优化问题的嵌套.

顶层的最优化问题负责寻找最优的网络路径,也就是像问题2-1同样的规划问题.第二个最优化问题在上层给出的路径的基础上寻找一个最优化的网络配置,配置最优化的中转节点状况.

在这种状况下,咱们本文采用两层的架构,第一层使用遗传算法做为框架,第二层使用约束式求解器GUROBI.

2-3 第三问是自由式的问题,所以在这里不作分享

3

第三问因为太直接,没有太好的方法进行求解,因此直接上了遗传算法.
没有什么有效的数学模型能够将问题化简,你们有兴趣能够直接看个人代码.

代码:

问题求解的正确性我尚未做进一步的考证,
在这里发表一些想法只作讨论用.
代码我已经上传到了github: https://github.com/zangzelin/2018-Graduate-Mathematical-Modeling-Competition-B
但愿以为有帮助的同窗,star 一下

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# 2018研究生数学建模竞赛B题-光传送网建模与价值评估-竞赛总结

这道赛题是有关通讯方面的赛题,初步读题,感到第一问和第二问关系不大,第二问和第三问关系也不大,不过第一问和第三问有比较紧密的顺承关系.

1-1

第一问主要讨论在光纤通讯环境下,与光信号传输有关的调制解调的误码率问题.在题设条件中,纠前误码率(BER)只与信噪比(SNR)有关.所以题目要求咱们创建数学模型描述二者的关系.

对于该问题有两种思路:

1. 创建机理模型

也就是经过对光纤中的入纤信号,与信号噪声进行几率描述,而后推导出出纤信号的几率描述,从而经过对几率密度函数的二重积分,直接计算出二者的解析关系.

1. 实验模型

也就是使用计算机仿真的方式,经过大量的实验,模拟信号输入,编码,噪声输入,解码,计算误码率的过程,对误码率进行计算.根据大数定律,大量实验的结果会趋近于第一种思路的机理模型的解.

1. 两种方法的比较

第一种方法有着更强的数学要求,可是推到的结果显示,最后的结果是一个正态分布函数的二重积分的加权和.计算这个函数的积分其实十分困难,仍是要借助数值计算的工具或者查表.没法有效的获得一条表达式.

第二种方法较容易实现,可是在试验次数较小的状况下,获得的曲线会引入较大偏差.形成求解曲线的不平滑.所以获得平滑的曲线须要花费较大的计算时间.在个人电脑上计算时间大概有半个小时.

在这里给出一张求解图.

1-2

第二问主要是对整个传输的光路进行建模,要考虑光在线缆中引入的噪声,光放大器引入的噪声,光在线缆中的功率衰减等因素,结合上文中算出的一个参数求解传输链路的段数.

在这里给出模型和结果.

结果

2-1

第二问彷佛与第一问没有必然的联系,这是一个整数规划的问题,特别是在第一问中,这个证书规划很是的纯粹,所以能够直接创建整数规划的模型,使用相应的求解器进行求解.

咱们将问题直接转化成了MIP问题,而后使用GUROBI工具进行求解.

转化成的问题以下图.

其中Cij 表示 i 节点与 j 节点之间的传输容量,可依据节点间的距离选择相应的传输格式,从而判断传输容量的大小。本文认为,若要使网络价值最大化,必需要以容量利用率最大为标准来分配传输格式。

λ ij 表示 i 节点与 j 节点之间链路的权重,M 为光传输网络的节点数。
H i ,H j 分别表示 i 节点和 j 节点的人口数。当全部节点的连接状况由决策
信息R ij 肯定时,目标函数值中相应的未知变量可进一步求出并肯定目标函数值.

约束中限制了网络链接数,和孤立链路数量.

值得一题的是孤立链路这个约束.

在一开始咱们解出的解以下图:

能够看到,获得的解并非一个连通的图.可是做为一个光纤网络来讲,必然要求咱们解出一个连通图.所以咱们加入了孤立链路这个新的约束.

这个约束能够保证全部组成的集合(全集和空集除外)都与其余点是连通的.加入当前约束后获得的解以下图所示.

对于33条链路的是这样的.

2-2

第二问考虑到中转节点的问题,最初考虑在第一问的基础上进行拓展,为每条路段增长一个分配变量,也就是在这些变量中描述当前路段的资源是否进行分配,分配给谁.

而后经过增长约束条件约束分配必须知足题设需求.可是求解过程发现这样的求解占用太多资源.所以咱们考虑将问题转化成为了一个层次优化的问题.在描述这个问题前,咱们经过一些数学推导将问题稍做简化.

首先,中转通讯的可行性分析.

一条线路进行中转的可行性,主要是由引入这些中转是否会带来目标(网络价值)的提高判断的.
若是引入这些中转能够将网络价值进行提高,那么系统将责无旁贷的引入这些中转通讯,若是不能,中转通讯将必定不会被引入.

所以在引入的价值该如何度量呢?

看下图:

也就是说,当权重保持不变的状况下. 引入中转通讯彻底归结为节点的人口问题,对于三个节点的判断来讲.当中间点城市的人口数足够小的状况下,引入中间节点通讯是有好处的.

下面咱们来进行更加复杂的分析.

当有多个城市须要占用同一个节点中转时,节点将为哪个城市服务的问题.这个问题一样该从网络价值的角度分析.就是说咱们要比较为谁服务能够得到更多的网络价值.

可是这个问题就没有前面的问题那样纯粹了,由于这将变成一个总体性的问题.也是一个规划问题.为了有效解决这个问题,本文件问题描述为一个两层的最优化问题的嵌套.

顶层的最优化问题负责寻找最优的网络路径,也就是像问题2-1同样的规划问题.第二个最优化问题在上层给出的路径的基础上寻找一个最优化的网络配置,配置最优化的中转节点状况.

在这种状况下,咱们本文采用两层的架构,第一层使用遗传算法做为框架,第二层使用约束式求解器GUROBI.

2-3 第三问是自由式的问题,所以在这里不作分享

3

第三问因为太直接,没有太好的方法进行求解,因此直接上了遗传算法.
没有什么有效的数学模型能够将问题化简,你们有兴趣能够直接看个人代码.

代码:

问题求解的正确性我尚未做进一步的考证,
在这里发表一些想法只作讨论用.
代码我已经上传到了github: https://github.com/zangzelin/2018-Graduate-Mathematical-Modeling-Competition-B 但愿以为有帮助的同窗,star 一下