传染病模型

参考：https://www.zhihu.com/question/367466399?from=groupmessage
假定人群分为4种，分别是：

• SUSCEPTIBLES:易感者，潜在的可感染人群。
• EXPOSED：潜伏者，已经被感染没有表现出来的人群。
• INFECTIVES：感染者，已经表现出感染症状的人
• RESISTANCES：抵抗者，感染者痊愈后获得抗性的人。
• 有些时候可以把R解释成恢复者，但实际上如果是致死性疾病，死者也算进这一项里，因为死者妥善处理之后无法被感染，也无法感染别人，和恢复者是一样的。

假设在某时刻t上，易感者为S(t)，感染者为：I(t)，康复者（有抗体）为R(t)。
那麽在时刻t，总人口数为N(t)=S(t)+I(t)+R(t)。如果暂时不考虑人口的增加和死亡的情况，那么N(t)=N是一个恒定的值。
除此之外：

• $r$r表示在单位时间内感染者接触到的易感者人数；
• 传染率： $\beta$β表示感染者接触到易感者之后，易感者得病的概率；
• 康复率： $\gamma$γ表示感染者康复的概率，有可能变成易感者S（可再感染），也有可能变成康复者R（不再感染）。

预备知识：
假设 $x=x(t)$x=x(t)是关于 $t$t的一个方程，且满足 $\frac{dx}{dt}+a_1x+a_2x^2=0$dtdx​+a1​x+a2​x2=0和 $x(0)=x_0$x(0)=x0​,那么它的解为：
$x(t)=\frac{e^{-a_1t}}{\frac{1}{x_0}-\frac{a_2}{a_1}(e^{-a_1t}-1)}$x(t)=x0​1​−a1​a2​​(e−a1​t−1)e−a1​t​。

四类传染病模型：

• 艾滋传染模型 SI
• 普通流感模型 SIS
• 急性传染病模型 SIR 及其拓展模型 SIRS
• 带潜伏期的恶性传染病模型 SEIR

SI模型

在 SI 模型里面，只考虑了易感者和感染者，并且感染者不能够恢复，此类病症有 HIV 等；
由于艾滋传染之后不可治愈，所以该模型为：易感染者被感染。

假定：总人口数为N(t)=S(t)+I(t)，疾病流行期间，人口的出生率和自然死亡率分别为 $\mu$μ 和 $\nu$ν,不考虑因病死亡，新增人都是易感染者，感染人数为 $\frac{\beta SI}{N}$NβSI​

用微分方程的式子表达
$\left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-\frac{r\beta I}{N}S\\ \frac{dI}{dt}=\frac{r\beta I}{N}S \end{matrix}\right.${dtdS​=−NrβI​SdtdI​=NrβI​S​
初始条件是 $S(t)=S_0,I(0)=I_0$S(t)=S0​,I(0)=I0​，并且 $N(t)=S(t)+I(t)$N(t)=S(t)+I(t)对于所有的 $t\geq 0$t≥0都成立。
于是，把 $S=N-I$S=N−I代入第二个微分方程中，最后常微分方程的解为：
$I(t)=\frac{NI_0}{I_0+(N-I_0)e^{-r\beta t}}$I(t)=I0​+(N−I0​)e−rβtNI0​​
这就是所谓的逻辑回归函数，而在机器学习领域，最简单的逻辑回归函数为 $\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$σ(x)=1+e−x1​,而 $I(t)$I(t)只是做了一些坐标轴的平移和压缩而已。由于 $lim_{t\rightarrow +\infty }e^{-t}=0$limt→+∞​e−t=0,所以 $lim_{t\rightarrow +\infty }I(t)=N$limt→+∞​I(t)=N,从而 $lim_{t\rightarrow +\infty }S(t)=0$limt→+∞​S(t)=0
通过数值模拟可以进一步知道：

此处最好的办法应该是用拟和优化。
简单来看，再SI模型下，最后全部的人群都会被感染。

SIS模型

除了 HIV 这种比较严重的病之外，还有很多小病是可以恢复并且反复感染的，例如日常的感冒，发烧等。在这种情况下，感染者就有一定的几率重新转化成易感者。如下图所示：
其微分方程就是：
$\left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-\frac{r\beta SI}{N}+\gamma I\\ \frac{dI}{dt}=\frac{r\beta SI}{N}-\gamma I \end{matrix}\right.${dtdS​=−NrβSI​+γIdtdI​=NrβSI​−γI​其初始条件为 $S(0)=S_0,I(0)=I_0$S(0)=S0​,I(0)=I0​。
是用同样的办法，把 $S=N-I$S=N−I导入第二个微分方程。最后得到的最终解为

从而也得到 $lim_{t\rightarrow +\infty }I(t)=\frac{N(r\beta -\gamma )}{r\beta }$limt→+∞​I(t)=rβN(rβ−γ)​,且 $lim_{t\rightarrow +\infty }S(t)=\frac{N\gamma }{r\beta }$limt→+∞​S(t)=rβNγ​,这个方程同样也是逻辑回归方程，只是它的渐近线与之前的SI模型有所不同。

SIR模型

有的时候，感染者在康复之后，就有了抗体，于是后续就不会再获得此类病症，这种时候，考虑SIS模型就不再合适了，需要考虑SIR模型。此类病症有麻疹，腮腺炎，风疹等。
其微分方程是：
$\left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-\frac{r\beta SI}{N}\\ \frac{dI}{dt}=\frac{r\beta SI}{N}-\gamma I\\ \frac{dR}{dt}=\gamma I \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​dtdS​=−NrβSI​dtdI​=NrβSI​−γIdtdR​=γI​
其初始条件是 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=R_0$S(0)=S0​,I(0)=I0​,R(0)=R0​,并且 $S(t),I(t),R(t)\geq 0$S(t),I(t),R(t)≥0和 $S(t)+I(t)+R(t)=N$S(t)+I(t)+R(t)=N对于所有的 $t\geq 0$t≥0都成立。

对于这类方程，就不能够得到其解析解了，只能够从它的动力系统开始进行分析，得到解的信息。根据第一个微分方程可以得到 $\frac{dS}{dt}=-\frac{r\beta SI}{N}<0$dtdS​=−NrβSI​<0 ,于是 $S(t)$S(t) 是一个严格递减函数，同时， $0\leq S(t)\leq N$0≤S(t)≤N 对于所有的 $t\geq 0$t≥0 都成立，于是存在 $S_\infty \in [0,+\infty ]$S∞​∈[0,+∞],使得 $lim_{t\rightarrow +\infty }S(t)=S_\infty$limt→+∞​S(t)=S∞​
通过第一个微分方程和第二个微分方程可以得到： $\frac{d(S+I)}{dt}=-\gamma I$dtd(S+I)​=−γI,因此对它两边积分得到
由于 $S(t)$S(t)是严格单调递减函数，因此从第二个微分方程可以得到：当 $S(t)=\frac{N\gamma}{r\beta}$S(t)=rβNγ​时，感染人数 $I(t)$I(t)达到最大值。

SEIR模型

注意此处的SEIR模型加入了扰动因子v，前面三种模型也可以加入扰动因子，加入扰动因子的模型往往更合理。
原因：就拿SEIR模型来说，
它不是万能的，总有一些异常状况，如有的人潜伏期短，有的人潜伏期长，还可能有超级感染者，有的潜伏者可能就直接痊愈了，变成了抵抗者。方程并没有单独处理这些情况，因为一定程度内这些异类都可以被扰动因子所包含。研究一个固定的模型加扰动项，比不断地往模型里加扰动项好研究的多。

通过对 SEIR 模型的研究, 可以预测一个封闭地区疫情的爆发情况, 最大峰值, 感染人数等等

但是显然没有任何地区是封闭的, 所以就要把各个地区看成图的节点, 地区之间的流动可以由马尔可夫转移所刻画, 对每个结点单独跑 SEIR 模型.

最后整个仿真模型就可以比较准确的反应疫情的散播和爆发情况

当然可以再加入更多的决策因素。