逐步反向传播示例

时间 2021-01-19 标签深度学习神经网络

背景
反向传播是训练神经网络的常用方法。网上不乏论文试图解释反向传播如何起作用，但很少有包含实际数字的例子。这篇文章是我试图解释它如何在一个具体的例子里工作，人们可以比较自己的计算，以确保他们正确理解反向传播。

概述

对于本教程，我们将使用具有两个输入，两个隐藏的神经元，两个输出神经元的神经网络。此外，隐藏和输出神经元将包括一个偏置。

基本结构如下：

为了使用一些数字，下面是最初的权重，偏置和训练输入/输出：

反向传播的目标是优化权重，以便神经网络可以学习如何正确映射任意输入到输出。

对于本教程的其余部分，我们将使用单个训练集：给定输入0.05和0.10，我们希望神经网络输出0.01和0.99。

前向传播：

首先，让我们看看神经网络在给定权重和偏置以及输入值为0.05和0.10的情况下是预测的是什么？为此，我们将这些输入通过网络向前馈传送。

我们计算出每个隐藏层神经元的总净输入，使用激活函数压缩总净输入（这里我们使用logistic函数），然后用输出层神经元重复该过程。（总净投入也被称为一些来源的净投入。）

以下是我们如何计算h_1的总净输入：

然后我们使用logistic函数对其进行压缩以获得h_1的输出：

对h_2执行相同的过程，我们得到：

我们重复这个过程为输出层神经元，使用隐藏层神经元的输出作为输入。

以下是o_1的输出：

对o_2执行相同的过程，我们得到：

计算总误差
现在我们可以使用平方误差函数来计算每个输出神经元的误差，并将它们相加得到总误差：

有些来源将目标称为理想值，而输出则以实际值。

包含1/2，以便稍后区分时取消指数。无论如何，结果最终会乘以学习率，所以我们在这里引入一个常数并不影响结果。

例如，o_1的目标输出为0.01，但神经网络输出为0.75136507，因此其错误为：

对o_2重复这个过程（记住目标是0.99），我们得到：

神经网络的总误差是这些误差的总和：

反向传递
我们使用反向传播的目标是更新网络中的每个权重，使它们使实际输出更接近目标输出，从而最大限度地减少每个输出神经元和整个网络的误差。

考虑一下，我们想知道w_5的变化对总误差的影响有多大，也就是（也就是w_5的偏导数或者说是梯度）

通过应用链式法则，我们知道：

在视觉上，这是我们正在做的事情：

我们需要找出这个方程中的每一部分。

首先，总误差相对于输出的变化有多大？

接下来，o_1的输出相对于其总净投入量有多少变化？

logistic函数的偏导数是输出乘以1减去输出：

最后，o1的总净投入相对于w_5变化了多少？

把它放在一起：

注：你会经常看到这种计算结合三角洲法则的形式：

为了减少误差，我们从当前的权重中减去这个值（可选地乘以一些学习率eta，我们将其设置为0.5）：

我们可以重复这个过程来获得新的权重w_6，w_7和w_8：

在我们将新权重引入隐含层神经元之后，我们执行神经网络中的实际更新（即，当我们继续使用下面的反向传播算法时，我们使用原始权重，而不是更新的权重）。

隐藏层
接下来，我们将通过计算w_1，w_2，w_3和w_4的新值来继续向后传播。

如图，是我们需要画出来的：

我们将使用与输出层类似的过程，但略有不同，以说明每个隐藏层神经元的输出对多个输出神经元的输出（并因此产生误差）的贡献。

We know that $out_{h1}$ affects both $out_{o1}$ and $out_{o2}$ therefore the $\frac{\partial E_{total}}{\partial out_{h1}}$ needs to take into consideration its effect on the both output neurons:

我们可以使用之前计算的值来计算 $\frac{\partial E_{o1}}{\partial net_{o1}}$ :

$\frac{\partial net_{o1}}{\partial out_{h1}}$ 等于:

将它们插入：

使用相同的过程计算 $\frac{\partial E_{o2}}{\partial out_{h1}}$ ,我们得到:

因此：

现在我们得到了 $\frac{\partial E_{total}}{\partial out_{h1}}$ , 我们需要计算每个权重的 $\frac{\partial out_{h1}}{\partial net_{h1}}$ 和 $\frac{\partial net_{h1}}{\partial w}$ :

我们计算与输出神经元相同的对w_1的总净输入的偏导数：

放在一起：

你也会看到写成这样：

我们现在可以更新 :

重复以上过程计算 , ,

最后，我们已经更新了所有的重量！当我们最初输入0.05和0.1的输入时，网络上的误差为0.298371109。在第一轮反向传播之后，总误差现在降至0.291027924。它可能看起来并不多，但是在重复这个过程10,000次后，错误会直线下降到0.0000351085。此时，当我们提前0.05和0.1时，两个输出神经元产生0.015912196（vs 0.01目标）和0.984065734（vs 0.99目标）。