Binary Search Trees(BST)

BST的性质

BST的形状为

• 每一个BST中的节点x，存在一个key,一个指向父节点的parent指针，同时还有一个左子树和右子树

root的parent不存在

• 左子树值y与父节点x知足 key(y) <= key(x),右子树z知足 key(x) <=key(z)

插入实现机制

假设元素的插入顺序为30，40，17，20，14 刚开始的时候没有元素,插入新的元素

而后插入第二个元素40，它比30要大，置为它的右节点

插入第三个元素17，比30要小，置为它的左节点

而后是20，比30小，找到作子树，左子树的节点值为17，再次比较

最后一次元素再次插入，获得最终的BST结构

def insert(self,z):
	x = self.root
	y=None # x's parent
	while x!=None :
	    //找到要插入的位置
		y=x
		if x.key <= z.key:
			x=x.right
		else:
			x=x.left
	if y == None:
	//新插入的元素为第一个节点
		self.root = z
		z.parent = None
	else:
	//接入新的节点
		z.parent = y
		if y.key <= z.key:
			y.right = z
		else:
			y.left = z
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它的耗时为O(lgn)

找到后继节点

后继节点即从值上来说，找到比要找的元素要大最接近的值，根据BST的性质，它确定在右子树上，因此若是存在存在右子树，就是右子树上的最小值，不然回溯到父节点，直到父节点不存在，或者遇到第一个不存在右节点关系的父子节点即获得后继值

17的后继是20，即17的右子树的节点；

20的后继是30，因为20没有右子树，会先回溯到17，而后17是它的父节点的左子树，那么它就是后继节点；

40的后继不存在；

def successor(self,node):
	if node == None:
		return None
	if node.right != None:
		# 后继必定在node的右节点
		return self.minimum(node.right)
	y = node.parent
	# 后继节点只能在右节点
	while  y!=None and node == y.right:
		node = y
		y=y.parent
	return y
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最小值则一直递归到左子树没有节点便可

def minimum(self,node=None):
	x = self.root if node == None else node
	while x!=None and x.left!=None:
		x = x.left
	return x
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删除节点

节点删除以后，必需要维持原有的BST性质

• 删除节点13，它一个子节点都没有，直接删除便可

• 删除节点16，只有右节点，直接有右节点替代便可

• 删除5，它既有左子树又有右子树，须要找到后继补上

def delete(self,node):
	if node.left == None:
		# 若是node.right 是None 至关于把要删的节点直接置成None,不然 后继者必定是第一个right值
		return self.transplant(node,node.right)
	elif node.right == None:
		# node.left 必定存在，只须要替换节点之间的指针
		return self.transplant(node,node.left)
	else:
		# 左子树和右子树都有，要维持BST的性质，必须找到后继节点
		successor = self.minimum(node.right)
		if successor != node.right:
			# 最小的左边的值必定不存在
			self.transplant(successor,successor.right)
			# right有变化
			successor.right = node.right
			# 修改原来节点的父节点 node.right 必定存在
			successor.right.parent = successor 
		self.transplant(node,successor)
		successor.left=node.left
		# 修改原子节点的父节点 node.left必定存在
		successor.left.parent = successor
		return node
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指针变换关系为

def transplant(self,d,r):
	""" d been delete r replecement"""
	if d.parent == None:
		self.root = r
	elif d == d.parent.left:
		d.parent.left = r
	else:
		d.parent.right = r
	if r!=None:
		r.parent = d.parent
	return d
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