科普P-NP

时间 2019-12-06

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大多数决策问题是不能用程序解决的

决策问题：对于输入的问题，它的回答要么是YES要么是NO算法

计算机程序：计算机程序的集合是可数的。集合形如

想一想程序都是"人"一个一个写下来的，他们存在硬盘上实际也是一系列的0 1 组合，也就是说它是一个可数的数。这里须要去掉错误的程序，错误的程序自己是没法解决问题的。数组

$\epsilon$ 表示空串函数

决策问题：决策函数的集合是不可数的。

每个决策问题能够看作是一个输入是有限的字符串，输出是0 1的函数。全部的这些函数组成的集合假设他是可数的spa

$f(\epsilon),f(0),f(1),f(00),f(01),f(10)...$

全部集合的元素为 $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ ... $\alpha_i$ ,这样的构造是能够无限进行下去。定义一个新的无限长的字串： $\delta=\delta_1\delta_2\delta_3..$ ,其中.net

$\delta_i=\lbrace^{0\space 若是(\alpha_i)_i=1 }_{1\space 若是(\alpha_i)_i=0}$

其中 $(\alpha_i)$ 表示原集合中的一个结果， $(\alpha_i)_i$ 表示 $(\alpha_i)$ 的第i个比特。这样获得的 $\delta_i$ 确定和 $\alpha_i$ 不同，也就是说它不在集合里头，那么意味着包含全部无限字符串的集合自己是不可数的。3d

不可数的集合原数确定是比可数的集合要大，这就意味着大多数的决策问题是没法用程序解决的。cdn

证实出处，见第3小节blog

不可用程序解决的一个问题示例

好比最后一个进来的人把门关上，实际上每一个进来的人都不知道本身是否是最后一我的，由于未来任什么时候候都有可能有人进来，这种状况，实际上就没法用程序的方式写下来。若是你知道一共有多少我的，那么是明白本身是不是最后一个进来的人，但关键是你不知道一共有多少我的，因此你只能让这个程序一直跑下去，可是跑不出结果字符串

科普P和NP

P: 多项式时间内可以解决的问题
EXP: 指数时间内可以解决的问题
R: 可以在有限时间内解决的问题，R指recursive

halt problem,运行一段代码，它会中止吗？它在有限的时间内可以解决，只要一直运行这个程序就知道get

NP: nondeterministic polynomial。它的答案能在多项式时间内验证。它经过某种“运气成分”的算法来在多项式时间内解决决策问题。

验证是指若是决策问题的答案是YES，可以证实它是正确的,而且证实的验证所花的时间在多项式时间以内。

所谓的运气就是说只须要一次尝试就找到了解决问题的方法。

nondeterministic model指算法自己来猜想，最终获得一个YES或者NO的回答，获得的猜想自己若是问题自己是YES，那么它的回答必定是YES

NP先关的一些概念

P!=NP: 证实问题要比验证问题要难

去证实一个问题须要不少的“灵光”一现，而验证问题只要描述的够精确，按照特定的步骤去执行，保证上下连贯，基本是没有问题。这里的“灵光”也就是说的“运气”

对于P的问题能够在任何计算机上面作实现，可是NP须要机器可以神奇的知道那种方法可以得到正确的解答。而这种机器可以神奇的知道正确答案的是不存在的。也就是说不存在"工程上的幸运"

从集合上来讲就是存在这样的问题，它属于NP，可是不属于P

NP-hard: 起码和在NP里头的问题同样的难
NP-complete: $NP\bigcap NP-hard$

好比俄罗斯方块问题

NP-complete问题之间均可以互相转化（reduce）

问题转换(Reduction)

转换一个问题A到一个问题B，这样表示B起码和A同样难

好比把没有权重的最短路径问题，转换成有权重的最短路径问题

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