Manacher算法

原文连接： https://subetter.com/algorith...

一：背景

给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：

1. s="abcd"，最长回文长度为 1；
2. s="ababa"，最长回文长度为 5；
3. s="abccb"，最长回文长度为 4，即bccb。

以上问题的传统思路大概是，遍历每个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为$O(n^2)$，效率不好。

1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法（中文名：马拉车算法），该算法能够把时间复杂度提高到$O(n)$。下面来看看马拉车算法是如何工做的。

二：算法过程分析

因为回文分为偶回文（好比 bccb）和奇回文（好比 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，因此这里咱们使用一个技巧，具体作法是：在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出如今串里）。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组int p[]，其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
p[i]		1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

能够看出，p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组，以下图：

设置两个变量，mx 和 id 。mx 表明以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + p[id]。

假设咱们如今求p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，若是i < mx，如上图，那么：

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，所以咱们能够利用p[j]来加快查找。

三：代码

#include <iostream>  
#include <cstring>
#include <algorithm>  

using namespace std;

char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];

int Init()
{
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }

    s_new[j] = '\0';  // 别忘了哦
    
    return j;  // 返回 s_new 的长度
}

int Manacher()
{
    int len = Init();  // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换
    int max_len = -1;  // 最长回文长度

    int id;
    int mx = 0;

    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  // 需搞清楚上面那张图含义, mx 和 2*id-i 的含义
        else
            p[i] = 1;

        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  // 不需边界判断，由于左有'$',右有'\0'
            p[i]++;

        // 咱们每走一步 i，都要和 mx 比较，咱们但愿 mx 尽量的远，这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码，从而提升效率
        if (mx < i + p[i])
        {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }

        max_len = max(max_len, p[i] - 1);
    }

    return max_len;
}

int main()
{
    while (printf("请输入字符串：\n"))
    {
        scanf("%s", s);
        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
    }
    return 0;
}

四：算法复杂度分析

文章开头已经说起，Manacher算法为线性算法，即便最差状况下其时间复杂度亦为$O(n)$，在进行证实以前，咱们还须要更加深刻地理解上述算法过程。

根据回文的性质，p[i]的值基于如下三种状况得出：

（1）：j 的回文串有一部分在 id 的以外，以下图：

上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时p[i] = mx - i，即紫线。那么p[i]还能够更大么？答案是不可能！见下图：

假设右侧新增的紫色部分是p[i]能够增长的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不单单是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，因此假设不成立，故p[i] = mx - i，不能够再增长一分。

（2）：j 回文串所有在 id 的内部，以下图：

根据代码，此时p[i] = p[j]，那么p[i]还能够更大么？答案亦是不可能！见下图：

假设右侧新增的红色部分是p[i]能够增长的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，因此假设不成立，故p[i] = p[j]，也不能够再增长一分。

（3）：j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：

根据代码，此时p[i] = p[j]或p[i] = mx - i，而且p[i]还能够继续增长，因此须要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) 
    p[i]++;

根据（1）（2）（3），很容易推出Manacher算法的最坏状况，即为字符串内全是相同字符的时候。在这里咱们重点研究Manacher（）中的for语句，推算发现for语句内平均访问每一个字符5次，即时间复杂度为：$T_{worst}(n)=O(n)$。

同理，咱们也很容易知道最佳状况下的时间复杂度，即字符串内字符各不相同的时候。推算得平均访问每一个字符4次，即时间复杂度为：$T_{best}(n)=O(n)$。

综上，Manacher算法的时间复杂度为$O(n)$。