【其它】音阶中的数学

1. 动机

　　近期，六岁的女儿在学钢琴，做为监工和陪练，这对我倒是个不大不小的困难。由于陪练并非站在一旁嚷嚷着“好好练琴”就行，共同窗习、一块儿交流才可以让小孩有持续的热情。为了把这件事变得有趣和高效，我打算从零学一点音乐，首先至少能看懂少儿钢琴的书吧。想一想咱们这一代的农村学校，连个音乐老师都没有，更不谈什么音乐知识，能接受到的音乐“熏陶”恐怕也只有大街小巷的那些流行歌曲了。这种粗粝的音乐审美也许已经没法提升，但“学习基础乐理”这样的硬任务应该仍是能够完成的。

　　好久以前就据说音乐和数学有着千丝万缕的联系，我早就想一睹音乐中的数学之美，但拿起各类正规乐理教材后，内心的落差仍是很大的。不只没有数学教材的那种干净利落，甚至也没有计算机教材的按部就班，整个就是杂乱概念的堆砌。概念没有清晰的定义、没有引入的缘由，概念间复杂的关系更是说不清楚道不明，名词老是硬生生地放在那里，你记就是了。也许是由于多年的理工科工做习惯，这样的书我真是一页也看不下去，不是看不懂，而是看得不得劲。但静下心来想一想，我须要的只是对概念来源的一个解释，哪怕是一个错误的解释，只要我以为合理就行。

　　固然我也知道，音乐自己仍是感性的东西，它变换莫测、风格多变，甚至连好坏都没有统一的标准，想用一套理论就把它彻底解释确定是不现实的。但万事万物都都会有一些基本规律存在，人类文明也正是在概括总结中积累起来的，即便是艺术、文学类的创做，也都要知足基本的美学规律。音乐做为一个普世的文化活动，通过上千年的流传和演进，在不一样地域的文明中都创建起了理论体系。但使人惊奇是，在音律的基本要素上，各类体系都殊路同归，具备很是相似的构成。现在，音律的语言已经趋于一致，人们已经有了统一的描述方式，而且在此之上继续探索、总结……

　　音律中跟数学关系最直接、最久远的当属音阶系统了，早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就发现，频率呈简单整数比的两个音听起来很是协和，而且几乎全世界的音阶系统，都是基于这样一个简单的事实创建起来的。下面开始，我就试图用本身浅薄的数学知识来解释一下这套体系，固然其中以数学的阐述为主，而有意淡化乐理的琐碎概念和曲谱的基本知识，那些在任何一本乐理书上都有详尽的介绍。最后我还想说，对于乐器演奏技法、甚至音乐理论学习，整理这些东西并没有大用，用这种思惟去学习音乐也必将学无所成。但对于一个理科生，只是想要一个解释而已，这不算过度吧，先让我痛快了再说！

2. 关于声音

　　首先严格说，声音就是一段声波，它是物体震动从而带动的空气震动。固然，杂乱无章的震动并不能对听觉提供可识别的特征信息，具备明显特征的声音在一段时间内应当（或近似）呈现必定的周期性，所谓周期性就是震动以必定频率重复出现。有三个特征能够完整刻画一段周期声波，首先是声波的震动周期，它通常用频率来表示，在音乐里还叫音高，人耳能听到的声音频率大概是\(20\sim 20000Hz\)。第二个是声波的形状，它构成了每段声音的独特感受，音乐上也叫音色，不一样乐器发出的声音都很容易辨认，就是由于它们的音色不一样。第三个就是声音震动幅度的大小，它直接关系到声音的大小，也就是咱们日常说的音量。

　　教材上还告诉咱们，每一个周期声波都是有一系列频率为\(f,2f,3f,\cdots\)的正弦波（振幅不一样）叠加而成的。但我以为这个说法并不严谨，虽然傅里叶级数告诉咱们：“知足必定条件的周期函数能够有惟一的傅里叶分解”，但这并不能说明：周期声波自然地就是由那些正弦波叠加而成的。傅里叶级数只是数学工具，它是我的工概念，用来帮助人们分解声音以便更好的分析。就比如物理上常常把运动按正交轴进行分解同样，这是用数学工具来分析运动，但并非说：运动自然地就是由两个方向的运动组成。

　　正弦波也叫简谐波，它是由简谐振动产生的声波，而简谐振动现实中很是广泛的一种运动。所谓简谐振动能够这样描述：它在中心两侧运动，加速度（或所受协力）始终指向中心，并与位移\(y\)成正比。弹簧的震动就是典型的简谐振动，其实现实中大部分物体的自身震动都是由若干简谐振动组成的，这也说明了为何周期声波均可以很好地进行傅里叶分解。在音乐里，简谐波也叫纯音，纯音叠加而成的复合音，若是仍然有明显的周期，则叫单音，不然叫拍音。单音的傅里叶分解中，周期最大的纯音叫作这个单音的基音，其它纯音则叫泛音。

　　到这里还有最后一个问题：为何简谐波就是正（余）弦波，仅仅由于它好看吗？我只得认可，书本里学的知识已经所有忘记了，如今只好本身再推算一遍。一种直接的方法就是根据简谐振动的特色，能够获得式（1）的常微分方程，从而解得\(y(t)\)是正弦函数。还有一种间接的证实方法，就是观察如图的匀速圆周运动。考察运动点\(P\)以及其加速度\(a\)在\(y\)轴的投影，显然它们成正比关系，具体说就是\(a_y(t)=\dfrac{a}{R}y(t)\)。也就是说简谐振动正是匀速圆周运动在一维空间的投影，设它的角速度是\(\omega\)（逆时针方向），它的波形天然就是\(R\sin\,\omega t\)。

\[y''(t)=ky(t)\tag{1}\]

3. 十二平均律

　　单丝不成线，单音不成乐，一首动听的音乐固然要有不一样音高的单音，才能表达出情绪的波动。咱们也看到，任何一种乐器都能发出多种音高，它们交叉、重叠、依次推动，造成了很是有节奏的韵律。为了能用不一样的乐器、在不一样的时间和场所弹奏一样一首曲子，须要对每一个音做明肯定义，这就要事先选定一组单音作为标准，这个组合也被称为音阶。每种乐器使用的音阶不尽相同，但挑选时都遵循着相似的准则，这里咱们先跳过漫长的历史过程，来看看如何合理地构建一个通用的音阶。

　　首先咱们知道一个常识：人耳对音高的感知知足对数函数，也就是说音高分别为\(F_a,F_b\)的声音，咱们感受到的“声高”比（我捏造的词）则是\(\dfrac{L_a}{L_b}=\dfrac{\ln F_a}{\ln F_b}\)。设音阶中单音的声高和音高分别是\(L_i,F_i\)，则容易有关系式（2）成立（\(C\)为某常数）。另外，咱们但愿音阶里的“声高”是逐渐递增的，也就是说\(L_1,L_2,\cdots,L_n\)成等差数列。由式（2）易知\(L_a-L_b=C\ln F_a/F_b\)，从而\(F_1,F_2,\cdots,F_n\)成等比数列。

\[\dfrac{L_1}{\ln F_1}=\dfrac{L_2}{\ln F_2}=\cdots=\dfrac{L_n}{\ln F_n}\;\Rightarrow\;L_i=C\ln F_i\tag{2}\]

　　把音阶设计成等比数列有不少好处，首先是获得了一套完整、递进的声高系统，它能知足各类场合的需求。还有就是等比音高能够很方便地“转调”，所谓转调就是把乐曲中的每一个音都同时升高或下降相同的声高，下面的调式中会碰到这样的状况。总之这是一个不错的开始，只要再添加少量限制，就能够肯定这套音阶了。音乐中的不一样单音扮演着不一样的角色，它们须要配合使用才能体现出流畅或变化，所谓流畅就是两个单音出现重合或叠加时，并不显得突兀，而是显得十分“协和”。

　　早在古希腊时期人们就发现，频率成简单整数比的两个音在一块儿更加协和，尤为是成倍数关系的两个音叠加时，音高并无变化。这个其实不难解释，两个周期比为\(m:n\)的两个音重合时，周期变为最小公倍数\([m,n]\)，当\(m,n\)都不大时，重合音的音高也没有忽然下降，而且都是原来音高的倍数。既然倍数关系的音高是最协和的，咱们就必须把最简单的倍数\(2:1\)添加到音阶中，任意选定一个“基础音”后，它的\(2^k,2^{-k}\)倍音也必须出如今音阶中，这就获得了音阶序列\(\cdots,\,2^{-2}F,\,2^{-1}F,\,F,\,2F,\,2^2F,\,\cdots\)。

　　可是成倍数的单音又太过协和了，彻底体现不出变化，乐曲会显得很空洞。因此须要在\([F,2F]\)间再添加一些音（其它区间相似），固然添加不能忘了等比关系，添加后的音应当是式（3）的序列。这时只要肯定整数\(n\)便可，而这只需再添加一个音。全部非倍数的整数比中最简单的就是\(2:3\)，从而把\(\dfrac{3}{2}F\)添加进序列（3）是毫无争议的，也就是寻找\(m\)使得\(2^{\frac{m}{n}}=\dfrac{3}{2}\)。

\[2^0F=F,\:2^{\frac{1}{n}}F,\:2^{\frac{2}{n}}F,\:\cdots,\:2^{\frac{n-1}{n}}F,\:2^{\frac{n}{n}}F=2F\tag{3}\]

　　但显然\(\log_2\dfrac{3}{2}=0.5849625\cdots\)是无理数，不能表示成\(\dfrac{m}{n}\)的形式，这时咱们只能稍做妥协，取一个\(\log_2\dfrac{3}{2}\)的近似分数。到了这一步，天然地就想到了实数的连分数表示，首先算得\(\log_2\dfrac{3}{2}\)的简单连分数是\([1,1,2,2,3,1,5,2,23,\cdots]\)，前几个近似分数分别是\(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{7}{12},\dfrac{24}{41},\dfrac{31}{53},\cdots\)。第一个达到\(0.1%%\)精度的（包括第一类近似逼近）是\(\dfrac{7}{12}\)，\(12\)大小合适，而且在古代是个颇有地位的数（由于约数多），不选它简直天理难容了。

\[\log_2\dfrac{3}{2}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}\approx\dfrac{7}{12}\tag{4}\]

　　以此创建音阶的方法就叫作十二平均律，它诞生于至关久远的中国古代，16世纪由明朝的朱载堉发展成完整的理论，而后在16世纪末传播到欧洲并在17世纪得以普及。十二平均律是目前通用的音律体系，后面的音程、调式、调性、和声、和弦理论都是创建在此之上的，只不过这些理论几乎都是在欧洲发展起来的。

4. 音程与协和性

　　在音律中有时很是关心两个单音之间的“距离”，它显然能够用单音的频率比来度量，这个比率在音乐中也被叫作音程。因为十二平均律获得音阶造成完整的等比数列，从而能够用相邻单音的频率比做为单位来“数”出音程大小，这个单位叫作一个“半音”，两个半音则叫一个“全音”，这样的音程表示法也叫音数。至于为何把半音做为一个单位，我想大概是由于许多音阶中，两个半音的距离是比较主要的音程，这个在下面的调式中将详细讨论。另外，一个半音还被分为100个音分，它能够用来度量更小精度的音程。

　　因为\(F\)与\(2F\)的单音极度类似，音阶中就好像只有12个音循环出现（只是音高加倍），所以咱们把讨论的重点放在一个周期中。在正式给出这些音的名称以前，这里先用数字\(0\sim 12\)表明它们，下面要讨论的是这13个单音之间的协和程度。这属于乐理中的和声学部分，那里把音程的协和程度分红了五种：极彻底协和、彻底协和、不彻底协和、不协和、极不协和。首先咱们知道，音\(0\)与音\(12\)以及自身是很是协和的，它们也叫作极彻底协和音程。

　　而后咱们还知道，音\(0\)与音\(7\)的频率比近似为\(2:3\)，它们的协和程度也很高，从而被叫作彻底协和音程。接下来，音\(7\)的\(\dfrac{3}{2}\)倍音出如今了下一个循环中，熟知取模运算的你必定知道，它就是音\(2\)的2倍音。从而易知音\(2\)与音\(7\)的近似频率比为\(\dfrac{4}{3}\)，它们也是彻底协和的。换句话说，任何一个音都有上下两个与它彻底协和的音，这个协和关系能够像下图那样造成一个环链（由于7与12互质）。

　　历史上，早期的音阶其实就是用上图的环链构建的，但只是使用了环中的\(5\)-\(0\)-\(7\)-\(2\)-\(9\)-\(4\)-\(11\)一段共七个音。因为音程\(\dfrac{3}{2}\)也叫纯五度（下面再介绍），故这个方法也叫五度相生律。但不难发现，五度相生律中会出现分母很大的分数，崇尚小整数比的古人利用小质数\(2,3,5\)构建出了它们的近似分数（见下表，不包括括号内的音），这个生成法也叫纯率。五度相生律更注重单音之间的协和性，而纯率更关注全部单音与\(F\)之间的协和性，在没法协调的状况下，十二平均律则是一个折中的方法。而且十二平均律的平滑性和完整性，也使得它成为了后来的标准。五度相生律和纯率被长期使用的期间，七个音的音名也被约定俗成地继承了下来（见下表，括号中是它们的唱名），后来添加进来的五个音只好用升降号来表示。

十二平均律	五度相生律	纯率	音名（唱名）	音程
\(1\)	\(1\)	\(1\)	C (Do)	纯一度
\(2^\frac{1}{12}\)	\((256/243)\)	\((17/16)\)	C# / Db	小二度
\(2^\frac{2}{12}\)	\(9/8\)	\(9/8\)	D (Re)	大二度
\(2^\frac{3}{12}\)	\((32/27)\)	\((6/5)\)	D# / Eb	小三度
\(2^\frac{4}{12}\)	\(81/64\)	\(5/4\)	E (Mi)	大三度
\(2^\frac{5}{12}\)	\(4/3\)	\(4/3\)	F (Fa)	纯四度
\(2^\frac{6}{12}\)	\((729/512)\)	\((7/5)\)	F# / Gb	增四 / 减五
\(2^\frac{7}{12}\)	\(3/2\)	\(3/2\)	G (So)	纯五度
\(2^\frac{8}{12}\)	\((128/81)\)	\((8/5)\)	G# / Ab	小六度
\(2^\frac{9}{12}\)	\(27/16\)	\(5/3\)	A (La)	大六度
\(2^\frac{10}{12}\)	\((16/9)\)	\((9/5)\)	A# / Bb	小七度
\(2^\frac{11}{12}\)	\(243/64\)	\(17/8\)	B (Si)	大七度
\(2\)	\(2\)	\(2\)	C (Do)	纯八度

　　伴随着七个单音，音程也有对应的名字，单音到自身的音程叫一度，而后依次增一度，到2倍音程叫八度。可见度数并非严格的定义，而是一个经验性的命名，从我有限的资料中并未找到它的来源，如下纯属瞎掰。因为一度、四度、五度、八度有很强的协和性和肯定的频率，它们也被叫作纯音。2、3、6、七度前面都补充了一个降半音的音，为区别开来，把原来的四个叫大X度，新增的叫小X度。这十三个度数之间近似相差半个音，之因此说近似，是由于非平均律下，这个间距就不是半个音了。因此当一个音要增、减半个音（一个音）时，还特意取名为增、减音程（倍增、减音程），下表总结了音程名称的变化规律，左右相邻的两个音程相差半个音。 

倍减音程	减音程	纯音程		增音程	倍增音程
		小音程	大音程

　　关于其它音程的协和性，通常把三度、六度当作是不彻底协和的，大2、小七当作是不协和的，小2、大七当作是极不协和的，增四/减五则表现极不稳定。其缘由通常也归结为整数比的“复杂”程度，但如何定义这个复杂程度则莫衷一是，各类解释都不能让人信服。若是小整数比的理论成立，那这些协和性极可能只对纯律有效。在十二平均律下，每一个频率都有许多近似分数，如何选择表明分数是个难题，如下只是个人推测。

　　对于音程为\(x>1\)的两个音，设周期分别为\(T,xT\)，它们的和声不必定有固定周期，只有一些大大小小的近似周期。一个近似周期应当同时约等于\(T,xT\)的倍数，设它们是\(mT,nxT\)，要想周期比较明显，\(|m-nx|T\)应当足够小。最小的近似周期应当知足：\(m,n\)尽可能小而\(|m-nx|\)也能足够小，回顾连分数的知识可知，这等价于求实数\(x\)的第二类最佳逼近\(\dfrac{m}{n}\)。纯率选取的分数其实就是达到必定精度的第二类逼近，而后\(n\)越小的协和性越好，这与感受基本吻合。另外我还有一个猜测，那种有理逼近比较慢的音程，因为近似精度低且两个近似周期之间相差小，和声会显得不协和或不稳定。好比典型的增四/减五音，它的连分数是\([1;2,2,2,2,2\cdots]\)，因为连分数的逼近速度慢，它的和声就很不稳定。

5. 调式和调性

　　以上是关于音阶的基础理论，在实际的曲调中每每只选取少许的音组成音阶，而且在不一样时代、不一样地区造成了各类风格的音阶。这里讲的“风格”其实就是音阶的“调”，它关系到音乐的情感色彩和情绪高低。一个调（音阶）包括选定的主音以及其它音的音程，它们分别称为调性和调式。

　　先来看调式，它是指围绕某个主音（Ⅰ）而生成的音阶，对于一种调式，其它音的个数以及相对主音的音程是肯定的。在不一样的历史时期和地区，产生了风格迥异的调式，这里只拿天然大（小）调为例，介绍调式的构成。天然大（小）调就是咱们熟悉的七音音阶，除了主音外先加入上下五度的两个音：属音（V）和下属音（Ⅳ），而后是位于主音、属音中间的中音（Ⅲ）和位于主音（高八度）、下属音中间的下中音（Ⅵ），最后再加上与主音相邻的上主音（Ⅱ）和下主音（Ⅶ）（小调中叫导音）。通常来讲，天然大调表现出阳光明朗的风格，而天然小调则阴暗忧伤一点。

　　在具体音程上，首先两个属音的位置没有疑问，以纯五度为准。但主音和属音之间相差\(3.5\)个半音，中音的位置有两种选择，天然大调选择\(2+1.5\)方式，而天然小调选择\(1.5+2\)的方式，这种不一样继而还会影响上（下）主音的位置。最终，天然大调的音程从主音开始依次是“全全半全全全半”，而天然小调则是“全半全全半全全”。若是把音程放到一个八度闭环中，不难发现大、小调实际上是“同构”的，只不过平展后有些音相差八度而已。

　　调性比较简单，主音是什么，通常就叫什么调，好比C调、G调。因为在平均律中有同音异名的现象，同一个调可能有两个名字，好比F^#调和G^b调就是相同的。但在非平均律下，它们会有细微的差异，这个咱们很少讨论。还有一个问题咱们一直没有解决，就是这些音的频率到底是多少？历史上，标准音的标准一直在变，直到1936年，美国标准委员会才将小字一组的A音（a¹）定为440Hz，而与它同一组的C音称为中央C。

　　有了调式和调性后，音乐的调也就肯定了，好比C大调、A小调等。下图将12个音按照五度音程串成一个圆环，由前面的讨论可知，圆环中任何7个相邻的音都正好构成一个天然大（小）调。7个相邻音中的（顺时针）第2个是大调的调性音，而第4个则是小调的调性音，利用这个图能够快速肯定不一样的音调。至此，咱们就算整理完音阶中的数学解释了，但对于乐理知识，这些只能算开篇和序言，但愿我这种另类的开篇能够帮助到你。

 

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【前序学科】 实数系统（连分数）

【参考资料】

[1]  《写给理工科看的乐理》，博客园Devymex

[2]  知乎: www.zhihu.com/question/20612595; www.zhihu.com/question/28518092