【题解】糖果传递

题目大意

  有\(n\)个小朋友坐成一圈（\(1 \leq n \leq 1000000\)），每人有\(a_i\)个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为\(1\)。求最小代价。

 

题解

  环形实际上就是\(n\)种链形。咱们先考虑第\(1\)到\(n\)个小朋友造成链形的状况。
  咱们设
\[s_i = \sum_{j = 1}^{i} (a_i - \overline{a})\]
  则此时对于每一个\(i\)，第\(i\)个小朋友传递的代价是\(s_i\)。
  此时咱们再回到环形，若是咱们在第\(k\)个小朋友处拆成链形，则当\(i \geq k\)时，第\(i\)个小朋友传递的代价为
\[| s_i - s_k |\]
  当\(i < k\)时，第\(i\)个小朋友传递的代价为
\[| s_i + s_n - s_k | \]
  根据咱们前面的定义，能够获得，\(s_n\)恒为\(0\)。
  因此当\(i < k\)时，第\(i\)个小朋友传递的代价也为
\[| s_i - s_k |\]
  因此总代价为
\[\sum_{i = 1}^{n} | s_i - s_k |\]
  根据贪心策略，显然这里的\(s_k\)应为\(\{ s_i \}\)中的中位数，排序处理一下便可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>

#define MAX_N (1000000 + 5)
#define SIZE (1 << 21)

#define abs(x) ((x) >= 0 ? (x) : -(x))
#define Getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = fr) + fread(fr, 1, SIZE, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)

using namespace std;

char fr[SIZE], * p1 = fr, * p2 = fr;

void Read(int & num)
{
    num = 0;
    char ch = Getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch = Getchar();
    while (isdigit(ch)) num = num * 10 + ch - '0', ch = Getchar();
    return;
}

int n;
int a[MAX_N];
int s[MAX_N];
long long ans;

int main()
{
    Read(n);
    long long tmp = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        Read(a[i]);
        tmp += a[i];
    }
    tmp /= n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        s[i] = s[i - 1] + a[i] - tmp;
    }
    sort(s + 1, s + n + 1);
    tmp = s[n >> 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        ans += abs(s[i] - tmp);
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}