仙人掌&圆方树学习笔记

仙人掌&圆方树学习笔记

一、仙人掌

圆方树用来干啥？

——处理仙人掌的问题。

仙人掌是啥？

(图片来自于\(BZOJ1023\))

——也就是任意一条边只会出如今一个环里面。

固然，若是你的图片想看起来舒服一点，也能够把图片变成这样子

(图片来源于网络)

二、DFS树

为啥要写这个？--由于这个看起来也能够解决一些仙人掌的问题。

对于一个仙人掌，咱们随便构建出一棵生成树。

而后咱们就多了一些边——能够叫返祖边，非树边……你想叫啥就叫啥。

由于每条边只会出如今一个环中，

因此每一条返祖边覆盖了树中的一条链，这条链+这条边构成了环。

因此咱们能够肯定每条边都出如今了哪一个环中。

这样子能够解决一点点仙人掌的问题。

好比仙人掌的最大独立集，\(dp\)的时候额外记录一下所在环的返祖边的端点的状态就行了。

三、圆方树是啥

看WC2017的营员交流的课件真的看得想死

先来定义一下什么是圆方树。

如下内容来自于课件：

仙人掌 \(G = (V, E)\) 的圆方树 \(T = (V_T , E_T )\) 为知足如下条件的无向图:
\(V_ T = R_ T ∪ S_ T , R_ T = V, R_ T ∩ S_ T = ∅\),咱们称$ R_ T$ 集合为圆点、\(S_ T\)
集合为方点
\(∀e ∈ E\),若 \(e\) 不在任何简单环中,则 \(e ∈ E_T\)
对于每一个仙人掌中的简单环 \(R\),存在方点 \(p_ R ∈ S_ T\) ,而且 \(∀p ∈ R\) 满
足 \((p _R , p) ∈ E_ T\) ,即对每一个环建方点连全部点

据说你看完挺混乱？

我来翻译一下：

对于一个仙人掌，它的圆方树以下定义：

首先分为了两类点，一类是圆点，一类是方点。

圆点就是原仙人掌中全部的点，方点是咱们新添加进去的点。

而圆方树的连边规则是这样的：

若是一条边在仙人掌中不属于任何一个环中，那么它直接圆方树中的两个圆点。

对于仙人掌中的任意一个环，则每一个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边。

如何证实圆方树是一棵树？

（如下内容来自于课件）

不在环上的边在圆方树中依然存在,

所以这些边连通性不变;

每一个环经过新建方点的方式连成一朵菊花,连通性不变。

所以圆方树是无向连通图。

原图中环的个数为 \(|E| − |V| + 1\),则
\(|V _T | = |S _T | + |R_ T | = |V| + |E| − |V| + 1 = |E| + 1,|E _T | = |E|\)

(大小为\(r\) 的环在仙人掌和圆方树中都是 \(r\) 条边),所以知足 \(|V_ T | = |E_ T | + 1\)

证实分为了两步：

首先证实它是联通的。

而后就证实了点数=边数+1

这样就是一棵树了。

而后让我把课件上的一张图片给蒯过来

好的，圆方树就长成这个样子啦。

四、如何构建圆方树

我想，看了上面的东西，知道了圆方树是啥，咱们很容易就知道怎么构建圆方树了吧。

首先\(Tarjan\)缩点，把每一个大小超过\(1\)的环里面的全部点都向一个新点（方点）连边。

而后把多出来的连接两个圆点的边直接给连上就行了。

彷佛真的很简单？

五、圆方树的性质

1.方点不会直接和方点相连

证实：

方点只会和属于一个强连通份量的点相连，显然不会和方点相连。

2.不管取哪一个点为根，圆方树的形态是同样的

证实：

这不仍是废话吗？

对于一个环，咱们显然对应的是一个方点，不管以哪一个点为根，

这个环是不会变的，除了方点的编号不同以外就没有任何不一样了。

因此圆方树是无根树。

定义：子仙人掌

以\(r\)为根的仙人掌上的点\(p\)的子仙人掌是去除掉\(p\)到\(r\)的全部简单路径后，\(p\)所在的联通块

3.以\(r\)为根的仙人掌上\(p\)的子仙人掌就是圆方树中以\(r\)为根时，\(p\)子树中的全部圆点

证实：

若是\(p\)不在环上，显然成立。

不然，此时去除全部到达根节点的全部简单路径后，

剩下的只有和\(p\)相连的，而且不和\(p\)在一个环内的点

显然是圆方树上\(p\)子树中的圆点（和它在一个环内的圆点都不和它直接相连了）

六、如何解决仙人掌上的一些简单的问题

a.求仙人掌的最大独立集(BZOJ4316)

这道题目显然有直接用\(dfs\)树的\(dp\)求法，见这里。

可是咱们是在学习仙人掌，因此固然要用仙人掌的方法来求解啊。

其实这里圆方树没有必要出来，没有必要区分圆点和方点。

咱们也是直接作\(dp\)，可是与\(dfs\)树不一样的是，

咱们直接在\(Tarjan\)过程当中作\(dp\)(彷佛本质也是\(dfs\)树？)

碰到圆圆边(圆点和圆点直接的边)就是普通的树型\(dp\)进行转移

若是是一个环上的边的话，那么咱们先暂时不进行操做。

当回到这个环的最上方的时候，对于这个环就行一次单独的\(dp\)

将答案累加给环的顶端，这样向上转移又和树同样了

具体的题解戳这里

b.求仙人掌直径(BZOJ1023)

和普通的树求直径用同样的\(dp\)就能够了。

对于一个环，拉出来特殊考虑，用一个单调队列维护一下。

具体的实现方法戳这里

c.仙人掌两点间的最短路(BZOJ2125)

构建出圆方树(圆方树：终于须要用到我了)，直接把圆方树树链剖分(主要是用来求\(LCA\))

圆圆边和原仙人掌是同构的，圆方边的权值定义以下：

咱们知道方点的父亲必定是圆点(转换为有根树以后)，

这样子把每条圆方边的权值赋为到达方点父亲的最短路径就好啦。

更加详细的题解和代码戳这里。

这一部分的小节

前两个问题彷佛用不到圆方树，只须要普通的\(dp\)便可解决。实现的方法和普通的树型\(dp\)是相似的，可是也有几点区别：首先不是普通的\(dfs\)，而是\(Tarjan\)算法的实现过程当中，顺带解决\(dp\)问题。另一个是仙人掌上的问题须要额外处理环的问题，每次找到环以后须要特殊处理。因此，解决这类问题也就是两步：首先想好怎么在树上解决（圆圆边如何解决），而后想好怎么处理环的答案。

第三个问题就须要用到圆方树啦，然而本质仍然是处理环和普通的树边之间的关系，只须要把这层关系想清楚，这一类问题应该仍是比较好解决的。

七、广义圆方树

前面的圆方树只能解决仙人掌的问题。

那么，对于一个通常的无向图，咱们显然也是能够利用圆方树来解决的(要否则我写什么广义圆方树啊?)

咱们在仙人掌中是对于每一个点双构建一个方点，在通常图中咱们也这么作。

而后方点向全部点双中的点连边，差很少和仙人掌上的圆方树是同样的啦。

固然，和仙人掌上的圆方树是有区别的啦，仙人掌上的圆方树是圆圆点之间是可能有边的。

那么，广义圆方树呢？

先蒯张图过来(来自\(ppl\)的\(blog\))

发现了啥？

圆点和方点是相间的，怎么搞？——强制把两个点也当作一个点双就行了

先找到题目来吧

带修改，求无向图中两点之间全部简单路径上的最小权值(CF487E)

固然了，这道题目有翻译好的版本UOJ#30,洛谷

首先咱们不考虑修改，再来想一想这道题目。

咱们既然要求的是最小值，那么，在通过一个点双的时候，走的必定是具备较小权值的那一侧。

因此说，咱们可让全部的方点表示它所在的点双的最小权值，

这样子只须要对于圆方树树链剖分以后维护链的最小值就好了。

好的，回归带修改，无非是要动态的维护一下方点的最小权值了。

你问我怎么动态维护若干个值的最小值？搞个\(multiset\)不就行了吗？

可是，如今问题又来了，若是每次修改一个点的权值(这个点固然是圆点啦)，

那么，一定会修改全部和它相邻的方点，若是是一个菊花树，而后咱们拼命修改根节点，这样子复杂度就起飞了。

如今让咱们打开脑洞，大力思考一下怎么办？

咱们强行让方点的权值不包括它的父亲(也就是只算它的儿子)

若是求解的时候\(LCA\)是方点，则额外计算一下方点父亲的权值

这样子每一个圆点在修改的以后只须要向上修改给父亲方点啦！

因而，咱们获得了\(Tarjan\)+圆方树+树链剖分+线段树+\(multiset\)的\(O(nlog^2n)\)的作法啦

(为何要手写可删堆啊?\(multiset\)很差吗？)

代码和题解

八、完结撒花

呼，终于写完啦。

最后再来总的说一说仙人掌和圆方树。

对于仙人掌，咱们对应的圆方树惟一。

不管是广义圆方树仍是普通的圆方树，和普通的树相比，惟一的区别就是要额外考虑方点的贡献。

总的来讲，就是码农+思惟题啦，只要想清楚方点的处理，一切都很好办了。