【学习总结】《大话数据结构》- 第6章-树

【学习总结】《大话数据结构》- 总

第6章树-代码连接

启示：

• 树

目录

<!-- GFM-TOC -->

• 6.1 开场白
• 6.2 树的定义
• 6.3 树的抽象数据类型
• 6.4 树的存储结构
• 6.5 二叉树的定义
• 6.6 二叉树的性质
• 6.7 二叉树的存储结构
• 6.8 遍历二叉树
• 6.9 二叉树的创建
• 6.10 线索二叉树
• 6.11 树、森林与二叉树的转换
• 6.12 赫夫曼树及其应用
• 6.13 总结回顾
• 6.14 结尾语

<!-- GFM-TOC -->

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6.1 开场白

• 一些能够略过的场面话...

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6.2 树的定义

• 定义

• 注意：

  • n>0时：根节点是惟一的，不可能存在多个根节点。

  • m>0时：子树的个数没有限制，但它们必定互不相交。

• 结点分类

  • 结点的度（degree）：结点拥有的子树数

  • 叶结点（leaf）或终结点：度为0的结点

  • 非终端结点或分支结点：度不为0的结点

  • 内部结点：除根节点外，分支结点也称为内部结点

  • 树的度：树内各结点的度的最大值

• 结点间关系

  • 孩子（child）：结点的子树的根称为该结点的孩子

  • 双亲（parent）：该结点称为孩子的双亲（父母同体，惟一的一个）

  • 兄弟（sibling）：同一个双亲的孩子之间互称兄弟

  • 祖先：结点的祖先是从根到该结点所经分支上的全部结点

  • 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该节点的子孙

• 树的其余相关概念

  • 层次（level）：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层

    即：若某结点在第L层，则其子树的根就在第L+1层

  • 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟

  • 深度（depth）或高度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度

• 有序树/无序树：若是将树中结点的各子树当作从左至右有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，不然为无序树。

• 森林（forest）：m（m>=0）棵互不相交的树的集合。

  • 对于树中每一个结点而言，其子树的集合即为森林。

• 线性表与树的对比

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6.3 树的抽象数据类型

• 相比线性结构，树的操做就彻底不一样了。如下是基本和经常使用操做。

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6.4 树的存储结构

• 简单的顺序存储结构没法直接反映逻辑关系，不能知足树的实现要求

  故充分利用顺序存储和链式存储结构的特色，介绍三种不一样的表示法

• 双亲表示法

  • 引入：除根节点外，其他每一个结点，不必定有孩子，但必定有且仅有一个双亲

  • 定义：设以一组连续空间存储树的结点，同时在每一个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。

    • data：数据域，存储结点的数据信息

    • parent：指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标

    • 约定：根节点的位置域为-1

• 代码实现：

• 图示：

• 弊端：找一个结点的双亲，时间复杂度O(1)，可是找一个结点的孩子，须要遍历整个结构

• 针对上述找孩子的解决：增设一个结点最左边孩子的域（长子域），没有孩子的结点，长子域为-1

  • 2个孩子：知道长子是谁，另外一个就是次子了

• 另外一个问题：兄弟之间的关系 -- 增长一个右兄弟域来体现兄弟关系，没有右兄弟时为-1

• 同时关注结点的双亲、孩子、兄弟时：设置双亲域、长子域、右兄弟域

  但对时间遍历要求较高，有须要时再添加相应的结构

• 孩子表示法

  • 多重链表表示法：

    • 每一个结点有多个指针域，其中每一个指针指向一棵子树的根节点，这种方法叫作多重链表表示法。

  • 方案一：设置指针域的个数为树的度

    • 可能存在空间的浪费

• 方案二：设置每一个结点指针域的个数等于该结点的度，取一个位置来存储结点指针域的个数

  • 空间利用率提升，可是各个结点的链表结构不一样，要维护结点的度的数值，时间损耗提升

• 孩子表示法：

  • 把每一个结点的孩子结点排列起来，以单链表做存储结构，则n个结点有n个孩子链表，若是是叶子结点，则此单链表为空。而后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

• 孩子表示法的两种结点结构

  • 孩子链表的孩子结点

- ### 表头数组的表头结点

• 孩子表示法的结构定义代码：

• 孩子表示法的弊端：找某结点的双亲，仍须要遍历整个树

• 改进：双亲孩子表示法

• 孩子兄弟表示法

  • 引入：

    任意一棵树，它的结点的第一个孩子若是存在就是惟一的，它的右兄弟若是存在也是惟一的。

    所以，能够设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟

• 结构定义代码：

• 图示：

• 弊端：找双亲仍需遍历整棵树，能够增长parent指针域

• 好处：把一棵复杂的树变成了一棵二叉树

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6.5 二叉树的定义

• 定义

• 一、二叉树的特色

• 二、特殊二叉树

  • 1-斜树：

    全部结点都只有左子树的二叉树叫左斜树

    全部结点都只有右子树的二叉树叫右斜树

    这二者统称为斜树。

    特色：每层只有一个结点，结点个数与二叉树的深度相同

    注：线性表结构能够理解为是树的一种极其特殊的表现形式

• 二、满二叉树

  定义：一棵二叉树中，全部分支结点都存在左右子树，而且全部叶子都在同一层

#### 特色：

• 三、彻底二叉树

  • 定义：对一棵具备n个结点的二叉树按层序编号，若是编号i(1<=i<=n)的结点与一样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置彻底相同，则此二叉树为彻底二叉树

    彻底二叉树示例：

#### 非彻底二叉树示例： - #### 彻底二叉树的特色： - #### 彻底二叉树的判断方法：给每一个结点按满二叉树的结构逐层排序，若是编号出现空档，就不是，不然就是。

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6.6 二叉树的性质

• 推导：

• 简单推导：

• 举例：

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6.7 二叉树的存储结构

• 二叉树的顺序存储结构：按彻底二叉树编号

  • 顺序存储结构通常只用于彻底二叉树，不然容易形成空间的浪费

  • 彻底二叉树：

• 通常二叉树：

• 极端状况的二叉树：

• 二叉链表

  • 定义：

    二叉树每一个结点最多有两个孩子，因此设置一个数据域和两个指针域，这样的链表称为二叉链表。

- data：数据域 - lchild和lchild：指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

• 二叉链表的结点结构定义代码

• 图示：

• 三叉链表：

  • 若有须要，可增长一个指向其双亲的指针域，其称为三叉链表。

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6.8 遍历二叉树

• 二叉树遍历原理

• 关键词：访问和次序

• 访问：根据实际的需求来肯定具体作什么，算做是一个抽象操做。

• 遍历次序：

  • 线性结构最可能是从头至尾、循环、双向等。

  • 树节点不存在惟一前驱后继，会由于遍历方式不一样而产生彻底不一样的结果。

• 二叉树遍历方法：

  • 四种：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。

  • 前序遍历：根左右

• 中序遍历：左根右

• 后序遍历：左右根

• 层序遍历：

• 前序遍历

  • 代码实现;

• 图示：

• 中序遍历

  • 代码实现

• 图示：

• 后序遍历

  • 代码实现：

• 图示：

• 遍历推导

  • 已知前序遍历和中序遍历，求后序遍历

    ###前序：ABCDEF，中序：CBAEDF
    • 前序第一个字母是A，说明A是根节点
    • 中序CBAEDF，说明CB在A的左，EDF在A的右
    • 前序CB：ABCDEF，先B后C，故B是A的左，C是B的孩子，左右不肯定
    • 中序CB：CBAEDF，先C后B，故C是B的左
    • 前序EDF：ABCDEF，说明D是A的右孩子，EF是D的子孙
    • 中序EDF：CBAEDF，E在D左，F在D右，说明E是D的左孩子，F是D的右孩子
    • 根据获得的二叉树图，检查一下是否符合所给前序和中序
    • 而后可得后序：CBEFDA

  • 已知中序遍历和后序遍历，求前序遍历：

• 性质小结：

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6.9 二叉树的创建

• 二叉树的扩展二叉树：

  • 为了能让每一个结点确认是否有左右孩子，将每一个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一特定值，好比"#"

  • 称这种处理后的二叉树为原二叉树的扩展二叉树

  • 扩展二叉树就能够作到一个遍历序列肯定一棵二叉树

• 代码实现：

• 其余：

  • 固然，也能够用中序或后序遍历的方式实现二叉树的创建

    只需对代码里生成结点和构造左右子树的代码顺序交换，而且输入字符也作相应的更新便可。

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6.10 线索二叉树

• 引入：

  • 空指针存在空间的浪费

• 二叉链表中，只能看出左右孩子，而看不出某序遍历的前驱和后继

• 定义：

  • 线索：指向前驱和后继的指针称为线索

  • 线索链表：加上线索的二叉链表称为线索链表

  • 线索二叉树（Threaded Binary Tree）：相应的二叉树称为线索二叉树

• 线索化：对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程

（此处应该是把非空指针域也变成了线索）

• 为区分左右孩子和前驱后继，每一个结点增设两个标志域

（注：此标志域占用的内存空间小于rchild类的指针变量）

• 线索二叉树的结构实现

• 前驱和后继的信息只有在遍历二叉树时才能获得

• 因此线索化的过程就是在遍历的过程当中修改空指针的过程。

• 代码实现：中序遍历线索化

• 类双向链表图示：

• 类双向链表代码实现：

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6.11 树、森林与二叉树的转换

• 树转换为二叉树

• 森林转换为二叉树

• 二叉树转换为树

• 二叉树转换为森林

  • 首先判断：二叉树的根结点是否有右孩子：有就是森林，不然不是。

• 树和森林的遍历

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6.12 赫夫曼树及其应用

• 定义

• 路径：从树中一个结点到另外一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径

• 路径长度：路径上的分支数目称为路径长度

• 树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度（注意是每一结点，不止是全部叶结点）

  树a的路径长度：

  树b的路径长度：

• 结点的带权路径长度：从该结点到树根之间的路径长度与结点上权值的乘积。

• 树的带权路径长度：树中全部叶子结点的带权路径长度。（注意是叶子结点，没有中间的）

• 赫夫曼树（Huffman）：带权路径长度WPL最小的二叉树称作赫夫曼树。也叫最优二叉树。

  • 注：哈夫曼树中没有度为1的结点。（每个结点都是由它的两棵子树合并产生的新结点）

• 构造最优的赫夫曼树

• 构造赫夫曼树的赫夫曼算法描述：

• 赫夫曼编码

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6.13 总结回顾

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6.14 结尾语

END