深刻浅出计算机组成原理学习笔记：第五十讲

1、引子

讲完校验码以后，你如今应该知道，不管是奇偶校验码，仍是CRC这样的循环校验码，都只能告诉咱们一个事情，就是你的数据出错了。因此，校验码也被称为检错码（Error Detecting Code）。

不论是校验码，仍是检错码，在硬件出错的时候，只能告诉你“我错了”。可是，下一个问题，“错哪儿了”，它是回答不了的。这就致使，咱们的处理⽅式只有一种，那就是当成“哪儿都错了”。若是是下载一
个文件，发现校验码不匹配，咱们只能从新去下载；若是是程序计算后放到内存里面的数据，咱们只能再从新算一遍。

这样的效率实在是过低了，因此咱们须要有一个办法，不只告诉咱们“我错了”，还能告诉咱们“错哪错了”。因而，计算机科学家们就发明了 纠错码。纠错码须要更多的冗余信息，经过这些冗余信息，咱们不只
能够知道哪儿的数据错了，还能直接把数据给改对。这个是否是听起来很神奇？接下来就让咱们一块儿来看一看。

2、海明码：咱们须要多少信息冗余？

最知名的纠错码就是海明码。海明码（Hamming Code）是以他的发明⼈Richard Hamming（理查德·海明）的名字命名的。这个编码方式早在上世纪四十年代就被发明出来了。一直到今天，咱们上一讲所说到的
ECC内存，也还在使用海明码来纠错。

最基础的海明码叫 7-4海明码。这里的“7”指的是实际有效的数据，一共是7位（Bit）。而这里的“4”，指的是咱们额外存储了4位数据，用来纠错。

首先，你要明一点点，纠错码的纠错能力是有限的。不是说无论错了多少位，咱们都能给纠正过来。否则咱们就不须要那7个数据位，只须要那4个校验位就行了，这意味着咱们能够不⽤数据位就能传输信息了。这就
不科学了。事实上，在7-4海明码里面，咱们只能纠正某1位的错误。这是怎么作到的呢？咱们⼀起来看看。

4位的校验码，一共能够表示2^4=16个不一样的数。根据数据位计算出来的校验值，必定是肯定的。因此，若是数据位出错了，计算出来的校验码，必定和肯定的那个校验码不一样。那可能的值，就是在2^4-1=15
那剩下的15个可能的校验值当中。

15个可能的校验值，其实能够对应15个可能出错的位。这个时候你可能就会问了，既然咱们的数据位只有7位，那为何咱们要用4位的校验码呢？用3位不就够了吗？2^3-1=7，正好可以对上7个不一样的数据位啊！

你别忘了，单比特翻转的错误，不只可能出如今数据位，也有可能出如今校验位。校验位原本也是可能出错的。因此，7位数据位和3位校验位，若是只有单比特出错，可能出错的位数就是10位，2^3-1=7种状况是
不能帮咱们找到具体是哪一位出错的。

事实上，若是咱们的数据位有K位，校验位有N位。那么咱们须要知足下面这个不等式，才能确保咱们可以对单比特翻转的数据纠错。这个不等式就是：

在有7位数据位，也就是K=7的状况下，N的最⼩值就是4。4位校验位，其实最多能够支持到11位数据位。我在下面列了一个简单的数据位数和校验位数的对照表，你能够本身算一算，理解一下上面的公式。

3、海明码的纠错原理

如今你应该搞清楚了，在数据位数肯定的状况下，怎么计算须要的校验位。那接下来，咱们就⼀起看看海明码的编码方式是怎么样的。

为了算起来简单一点，咱们少用一些位数，来算一个 4-3海明码（也就是4位数据位，3位校验位）。咱们把4位数据位，分别记做d一、d二、d三、d4。这里的d，取的是数据位data bits的首字母。咱们把3位校验位，
分别记做p一、p二、p3。这⾥的p，取的是校验位parity bits的首字母。

从4位的数据位里面，咱们拿走1位，而后计算出一个对应的校验位。这个校验位的计算用以前讲过的奇偶校验就能够了。好比，咱们用d一、d二、d3来计算出一个校验位p1；用d一、d三、d4计算出⼀个校验位p2；用
d二、d三、d4计算出一个校验位p3。就像下面这个对应的表格同样：

这个时候，你去想想，若是d1这一位的数据出错了，会发生什么状况？咱们会发现，p1和p2和校验的计算结果不同。d2出错了，是由于p1和p3的校验的计算结果不同；d3出错了，则是由于p2和p3；若是
d4出错了，则是p一、p二、p3都不同。你会发现，当数据码出错的时候，至少会有2位校验码的计算是不一致的。

那咱们倒过来，若是是p1的校验码出错了，会发⽣什么状况呢？这个时候，只有p1的校验结果出错。p2和p3的出错的结果也是同样的，只有一个校验码的计算是不一致的。

因此校验码不一致，一共有2^3-1=7种状况，正好对应了7个不一样的位数的错误。我把这个对应表格也放在下面了，你能够理解一下。

能够看到，海明码这样的纠错过程，有点儿像电影里面看到的推理探案的过程。经过出错现场的额外信息，一步一步条分缕析地找出，究竟是哪一位的数据出错，还原出错时候的“犯罪现场”。看到这里，相信你一方面会以为海明码特别神奇，可是同时也会冒出一个新的疑问，咱们怎么才能用一套程序或者规则来生成海明码呢？其实这个步骤并不复杂，接下来咱们就一块儿来看一下。

首先，咱们先肯定编码后，要传输的数据是多少位。好比说，咱们这里的7-4海明码，就是⼀共11位。而后，咱们给这11位数据从左到右进行编号，而且也把它们的二进制表示写出来。

接着，咱们先把这11个数据中的二进制的整数次幂找出来。在这个7-4海明码里面，就是一、二、四、8。这些数，就是咱们的校验码位，咱们把他们记录作p1~p4。若是从⼆进制的⻆度看，它们是这11个数当中，惟
四的，在4个比特里面只有一个比特是1的数值。那么剩下的7个数，就是咱们d1-d7的数据码位了。

而后，对于咱们的校验码位，咱们仍是用奇偶校验码。可是每个校验码位，不是用全部的7位数据来计算校验码。儿是p1用三、五、七、九、11来计算。也就是，在二进制表示下，从右往左数的第四位比特是1的状况
下，用p1做为校验码。

剩下的p2，咱们用三、六、十、11来计算校验码，也就是在二进制表示下，从右往左数的第二位比特是1的状况下，用p2。那么，p3天然是从右往左数，第三位比特是1的状况下的数字校验码。而p4则是第四位比特是
1的状况下的校验码。

这个时候，你会发现，任何一个数据码出错了，就至少会有对应的两个或者三个校验码对不上，这样咱们就能反过来找到是哪个数据码出错了。若是校验码出错了，那么只有校验码这一位对不上，咱们就知道是这
个校验码出错了。

上面这个方法，咱们能够用一段肯定的程序表示出来，意味着不管是几位的海明码，咱们都再也不须要人工去精巧地设计编码方案了。

4、海明距离：形象理解海明码的做用

其实，咱们还能够换一个角度来理解海明码的做用。对于两个二进制表示的数据，他们之间有差别的位数，咱们称之为海明距离。好比1001和0001的海明距离是1，由于他们只有最左侧的第⼀位是不一样的。而1001
和0000的海明距离是2，由于他们最左侧和最右侧有两位是不一样的。

因而，你很容易能够想到，所谓的进行一位纠错，也就是全部和咱们要传输的数据的海明距离为1的数，都能被纠正回来。

而任何两个实际咱们想要传输的数据，海明距离都至少要是3。你可能会问了，为何不能是2呢？由于若是是2的话，那么就会有一个出错的数，到两个正确的数据的海明距离都是1。当咱们看到这个出错的数的时
候，咱们就不知道究竟应该纠正到那一个数了。

在引如了海明距离以后，咱们就能够更形象地理解纠错码了。在没有纠错功能的状况下，咱们看到的数据就好像是空间里面的一个一个点。这个时候，咱们可让数据之间的距离很紧凑，可是若是这些点的坐标稍稍
有错，咱们就可能搞错是哪个点。

在有了1位纠错功能以后，就好像咱们把一个点变成了以这个点为中心，半径为1的球。只要坐标在这个球的范围以内，咱们都知道实际要的数据就是球⼼的坐标。而各个数据球不能距离太近，不一样的数据球之间要有
3个单位的距离。

 

 

5、总结延伸

好了，纠错码的内容到这⾥就讲完了。你可不要⼩看这个看起来简单的海明码。虽然它在上世纪40年代早早地就诞生了，不过直到今天的ECC内存里面，咱们还在使用这个技术方案。而海明也由于海明码得到了图灵奖。

经过在数据中添加多个冗余的校验码位，海明码不只可以检测到数据中的错误，还可以在只有单个位的数据出错的时候，把错误的一位纠正过来。在理解和计算海明码的过程当中，有一个很重要的点，就是不只原来的
数据位可能出错。咱们新添加的校验位，同样可能会出现单比特翻转的错误。这也是为何，7位数据位用3位校验码位是不够的，而须要4位校验码位。

实际的海明码编码的过程也并不复杂，咱们经过不不一样过的校验位，去匹配多个不一样的数据组，确保任何一个数据位出错，都会产生意个多个校验码位出错的惟一组合。这样，在出错的时候，咱们就能够反过来找到
出错的数据位，并纠正过来。当只有一个校验码位出错的时候，咱们就知道实际出错的是校验码位了。