ZOJ 2753 Min Cut (Destroy Trade Net)（无向图全局最小割）

 

题目大意

 

给一个无向图，包含 N 个点和 M 条边，问最少删掉多少条边使得图分为不连通的两个部分，图中有重边

数据范围：2<=N<=500, 0<=M<=N*(N-1)/2

 

作法分析

 

典型的无向图全局最小割，使用 Stoer-Wagner 算法

 

Stoer-Wagner 算法共执行 n-1 次 BFS，每次 BFS 获得一个当前图的最小 S-T 割，而且将最后 BFS 的两个点缩点，n-1 次 BFS 获得 n-1 个最小 S-T 割中的最小者就是整个无向图的全局最小割，为了讲述每次 BFS 执行的操做，先进行以下定义：

　　令 g[i][j] 表示边 (i, j) 的权值，对于无向图，咱们有 g[i][j]=g[j][i]

　　令 w[u] 表示 u 和已经被 BFS 过的点的关联度，即 w[u]=∑g[v][u] 其中，v 是已经被 BFS 过的点，u 是未被 BFS 的点。初始时，全部点的 w 值所有为 0

　　令 vs[u] 表示 u 是否已经被 BFS 过，vs[u]=1 表示 u 已经被 BFS 过。初始时，全部点的 vs 值所有为 0

 

每次 BFS 按以下步骤执行：

　　1. 选出未被 BFS 过的点中，关联度（w 值）最大的点（若是有多个，任选一个），设为 u。若是全部的点都已经被 BFS 过，则退出当前 BFS 过程

　　2. 用 u 更新全部未被 BFS 的点的关联度，即： w[v]+=g[u][v]，其中 v 没有被 BFS 过

　　3. 将 u 设置为 BFS 过，即将 vs[u] 的值由 0 变为 1

　　设倒数第 2 个被 BFS 的点为 S，倒数第 1 个被 BFS 的点为 T，那么，w[T] 就是本次 BFS 获得的最小 S-T 割

每次 BFS 后，将最后 BFS 的两个点 S 和 T 缩成一个点 u，即：g[i][u]=g[i][S]+g[i][T]

每次 BFS 后，用获得的最小 S-T 割更新全局的最小割

 

n-1 次 BFS 后，全局最小割求出来了，图也被缩成了一个点

 

下面是一个例子

假设在进行 BFS 时有一个无向图以下：

图中，括号中的数字表示每一个点的 w 值，初始化为 0，边上的值表示边权。如今选择一个具备最大关联度（w 值最大）的点，有多种选择时随意选取一个点，假设选取的是第 2 个点，将它标记为已经访问过的点，并更新其余未被访问过的点的关联度：

如今，第 3 个点的关联度最大，选它做为下一个 BFS 的点，将它标记为已经访问过的点，并用它更新其余未被访问过的点的关联度：

第 4 个点的关联度最大，选其做为下一个 BFS 的点，将它标记为已经访问过的点，并更新其余未被访问过的点的关联度：

第 7 个点的关联度最大，选其做为下一个 BFS 的点，将它标记为已经访问过的点，并更新其余未被访问过的点的关联度：

第 8 个点的关联度最大，选其做为下一个 BFS 的点，将它标记为已经访问过的点，并更新其余未被访问过的点的关联度：

第 6 个点的关联度最大，选其做为下一个 BFS 的点，将它标记为已经访问过的点，并更新其余未被访问过的点的关联度：

第 5 个点的关联度最大，选其做为下一个 BFS 的点，将它标记为已经访问过的点，并更新其余未被访问过的点的关联度：

第 1 个点的关联度最大，选其做为下一个 BFS 的点，将它标记为已经访问过的点，并更新其余未被访问过的点的关联度：

至此，全部的点都被 BFS 了一遍，最后访问的点是 1，倒数第二访问的点是 5：

那么，咱们此次 BFS 的 S 点是 5，T 点是 1，此次 BFS 获得的最小 S-T 割为 w[T]=5（上图中绿色的点）

将 S 点和 T 点合并：

获得新图：

将全部的标记（包括关联度，是否访问过）清空，进行下一次 BFS ，直至全部的点缩成一个点为止：

这样，通过 n-1 次 BFS 以后，整个无向图的全局最小割就求出来了

时间复杂度不难分析：o(n^3)

 

可是，我想，若是在每次 BFS 的时候，就像 Dijkstra 同样用堆优化，应该能够把复杂度下降到 o(n^2log₂(n))

 

详细证实，请看 A Simple Min-Cut Algorithm

 

参考代码

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 struct Stoer_Wagner {
 8     static const int N=506, INF=(1<<30);
 9     int G[N][N], W[N], Merge[N], S, T, minCut, n;
10     bool vs[N];
11 
12     void init(int _n) {
13         n=_n;
14         memset(G, 0, sizeof G);
15     }
16 
17     void BFS() {
18         memset(vs, 0, sizeof vs);
19         memset(W, 0, sizeof W);
20         S=T=-1;
21         int Max, id;
22         for(int cnt=0; cnt<n; cnt++) {
23             Max=-INF;
24             for(int i=0; i<n; i++)
25                 if(!Merge[i] && !vs[i] && W[i]>Max)
26                     Max=W[i], id=i;
27             if(id==T) return;
28             S=T, T=id;
29             minCut=Max;
30             vs[id]=1;
31             for(int i=0; i<n; i++) {
32                 if(Merge[i] || vs[i]) continue;
33                 W[i]+=G[id][i];
34             }
35         }
36     }
37 
38     int StoerWagner() {
39         memset(Merge, 0, sizeof Merge);
40         int ans=INF;
41         for(int cnt=1; cnt<n; cnt++) {
42             BFS();
43             if(minCut<ans) ans=minCut;
44             if(ans==0) return ans;
45             Merge[T]=1;
46             for(int i=0; i<n; i++) {
47                 if(Merge[i]) continue;
48                 G[S][i]+=G[T][i];
49                 G[i][S]+=G[i][T];
50             }
51         }
52         return ans;
53     }
54 };
55 
56 Stoer_Wagner fuck;
57 int n, m;
58 
59 int main() {
60     while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF) {
61         fuck.init(n);
62         for(int i=0, a, b, c; i<m; i++) {
63             scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
64             fuck.G[a][b]+=c;
65             fuck.G[b][a]+=c;
66         }
67         printf("%d\n", fuck.StoerWagner());
68     }
69     return 0;
70 }

ZOJ 2753

 

题目连接 & AC 通道

 

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