莫队算法

机房的众神犇都在搞这个东西，本SB也掺和一下下吧。

莫队算法可用于解决一类可离线且在获得区间\([l,r]\)的答案后，能在\(O(1)\)或\(O(\log_2{n})\)获得区间\([l,r+1]\)或\([l-1,r]\)的答案的问题

先看这样一个问题：

给出n个数字，m次询问，每次询问在区间\([l_i,r_i]\)之间任选两个数字相等的几率是多少。（n,q<=50000）（小z的袜子）

在区间\([l,r]\)中，这个几率是：
\[\frac{\sum_{i=1}^{v}C(2,f(i))}{C(2,r-l+1)}\] (v表示数字值，f(i)表示数字i在区间内出现的次数)

因为没有加和性质，传统的线段树什么的彻底派不上用场了呢！

考虑分子，由于\(C(2,x)=\frac{x^2-x}{2}\)，因此分子=\(\frac{\sum_{i=1}^{v}f(i)^2-\sum_{i=1}^{v}f(i)}{2}\)
显然 \(\sum_{i=1}^{v}f(i)=r-l+1\)

若得知区间\([l,r]\)的答案怎么求区间\([l,r+1]\)的答案呢？仔细想一想。恩，有了。区间\([l,r+1]\)与区间\([l,r]\)相比只多了一个元素Z，这种改动是很小的，那么前式中分子的值\(S=S_0-f(Z)^2+(f(Z)+1)^2-1=S_0+2*f(Z)\)，同时++f(z)，恩，\(O(1)\)的。这样的话，在处理下一个询问\([l_i,r_i]\)时，复杂度就是\(O(|r-r_i|+|l-l_i|)\)的。一样的方法，也能够在\(O(1)\)内求出\([l-1,r]\)，\([l+1,r]\),\([l,r-1]\)。这样的方法对于随机数据表现是很好的，但也不难给出故意卡你的数据。

这时，就须要莫队算法来撑腰了，这也是莫队算法优化的精髓。

注意到，每一个区间能够抽象成平面中的点，每次转移的花费都至关与从某点到另外一点的曼哈顿距离的长度。恩，因此呢？

因此咱们花费的即是这些平面中的点联通的曼哈顿距离。平面点的曼哈顿最小生成树！

对！但平面点的曼哈顿最小生成树怎么求呢？枚举两两点链接\(O(n^2)\)，毫无心义。其实平面点的曼哈顿最小生成树有基于平面区域划分的\(O(nlog_2n)\)的求法，但咱们有更简洁的方法。对，分块！

神犇曰：分块是个好东西

确实，利用分块，咱们能够实现\(O(n\sqrt{n})\)的时间复杂度。虽然求解平面点的曼哈顿最小生成树是\(O(nlog_2n)\)的，但根据莫队论文中的证实，用到这里时，仍然是\(O(n\sqrt{n})\)，只不过常数小一些罢了。

分块的作法：
取\(x=\sqrt(n)\)，以\([1,x],[x+1,2x],[2x+1,3x]...\)分块
用pos数组维护端点i在第pos[i]块中，而后就搞呗。

这样搞：

1)：排序，以左段点所在的块为第一关键字，以右端点为第二关键字

2)：从左往右处理询问（离线）

3)：不断调整l,r的位置并同时修改

时间复杂度证实：

右端点移动：
首先咱们考虑一个块里面的转移状况
因为一个块里面的询问都按右端点排序
因此咱们右端点在一个块里面最多移动n次
有 \(O(\sqrt{n})\)个块，那么同一个块内的右端点移动最多就是\(O(n\sqrt{n})\)
而后考虑从一个块到另外一个块致使的右端点变化
最坏状况，右端点由n到1，那么移动n次
有 \(O(\sqrt{n})\)个块
那么从一个块到另外一个块的事件只会发生\(O(\sqrt{n})\)次……
因此这种右端点移动的次数也是\(O(n\sqrt{n})\)次
没有别的事件致使右端点移动了
左端点移动：
同一个块里面，因为左端点都在一个长度为\(O(\sqrt{n})\)的区间里面
因此在同一块里面移动一次，左端点最多变化\(O(\sqrt{n})\)
总共有n个询问……
因此同一块里面的移动最多n次
那么同一个块里面的左端点变化最可能是\(O(n\sqrt{n})\)的
考虑跨越块
每由第i个块到第i+1个块，左端点最坏加上\(O(\sqrt{n})\)
总共能加上\(O(\sqrt{n})\)次
因此跨越块致使的左端点移动是\(O(n)\)的
综上，分块作法是\(O(n*\sqrt{n})\)。

总结

莫队算法在解决离线区间询问几乎是无敌的。
恩，几乎只要能离线，用分块的莫队算法都能取得一个使人满意的的解法。
因此就有不少扩展（解决线段树等数据结构因为须要区间加和性而不能解决的问题），如区间众数，平均数什么的。
恩。棒！

附:
[BZOJ]2038 小Z的袜子 分块 莫队算法

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 50000 + 500;
typedef long long LL;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}

int pos[maxn];
int col[maxn];
int f[maxn];
int n,m;

struct Query
{
    int l,r,id;
    LL a,b;
    friend bool operator < (const Query &R,const Query &T)
    {
        return pos[R.l]<pos[T.l] || (pos[R.l]==pos[T.l] && R.r<T.r);
    }
    void modify()
    {
        LL k=gcd(a,b);
        a/=k,b/=k;
    }
}Q[maxn];
bool cmp_id(const Query &a,const Query &b)
{
    return a.id<b.id;
}

void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&col[i]);
    int limit=(int)sqrt((double)n+0.5);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        pos[i]=(i-1)/limit+1;//左端点分块
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r);
        Q[i].id=i;
    }
    sort(Q+1,Q+m+1);
}

void modify(int p,LL &ans,int add)
{
    ans=ans+2*add*f[col[p]]+1;
    f[col[p]]+=add;
}

void solve()
{
    LL ans=0;
    int l=1,r=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        if(r<Q[i].r)
        {
            for(r=r+1;r<Q[i].r;++r)
                modify(r,ans,1);
            modify(r,ans,1);
        }
        if(Q[i].l<l)
        {
            for(l=l-1;Q[i].l<l;--l)
                modify(l,ans,1);
            modify(l,ans,1);
        }
        if(Q[i].r<r)
            for(;Q[i].r<r;--r)
                modify(r,ans,-1);
        if(l<Q[i].l)
            for(;l<Q[i].l;++l)
                modify(l,ans,-1);
        if(Q[i].l==Q[i].r)
        {
            Q[i].a=0,Q[i].b=1;
            continue;
        }
        Q[i].a=ans-(Q[i].r-Q[i].l+1),Q[i].b=(LL)(Q[i].r-Q[i].l+1)*(Q[i].r-Q[i].l);
        Q[i].modify();
    }
    sort(Q+1,Q+m+1,cmp_id);
    for(int i=1;i<=m;++i)
        printf("%lld/%lld\n",Q[i].a,Q[i].b);
}

int main()
{
    init();
    solve();

    return 0;
}

Refrence:
http://foreseeable97.logdown.com/posts/158522-233333

http://ydcydcy1.blog.163.com/blog/static/21608904020134411543898/

http://vawait.com/manhattanmst/

http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908