算法评价和误差分析

• 记号： x $x$表示测量值， x^ $\hat{x}$表示估计值， x¯ $\bar{x}$表示真值

• RMS(均方根)残差
  

  εres=[12n∑i=1nd(x′i,x^′i)2]1/2 $${\epsilon }_{res}=[\frac{1}{2n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}d(x_i^{\prime },{\hat{x}}_i^{\prime }{)}^2{]}^{1/2}$$
  
  
  εres=[14n(∑i=1nd(x′i,x^′i)2+∑i=1nd(xi,x^i)2)]1/2 $${\epsilon }_{res}=[\frac{1}{4n}(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}d(x_i^{\prime },{\hat{x}}_i^{\prime }{)}^2+\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}d(x_i,{\hat{x}}_i{)}^2){]}^{1/2}$$

• 重要结论：考虑一个估计问题，其中N个测量由依赖于d个本质参数集的函数模型化，假定每个测量变量有标准差 σ $\sigma$的独立高斯噪声
  （1）ML估计算法的RMS残差（测量值到估计值的距离）是
  

  εres==E[||X^−X||/N]1/2=σ(1−d/N)1/2 $${\epsilon }_{res}==E[||\hat{X}-X||/N{]}^{1/2}=\sigma (1-d/N{)}^{1/2}$$
  
  （2）ML估计算法的RMS估计误差（测量值到真值的距离）是
  
  εest==E[||X^−X¯||/N]1/2=σ(d/N)1/2 $${\epsilon }_{est}==E[||\hat{X}-\bar{X}||/N{]}^{1/2}=\sigma (d/N{)}^{1/2}$$

• 单图像误差
  

  εres=σ(1−4/n)1/2 $${\epsilon }_{res}=\sigma (1-4/n{)}^{1/2}$$
  
  
  εest=σ(4/n)1/2 $${\epsilon }_{est}=\sigma (4/n{)}^{1/2}$$

• 重投影误差
  

  εres=σ(n−42n)1/2 $${\epsilon }_{res}=\sigma (\frac{n-4}{2n}{)}^{1/2}$$
  
  
  εest=σ(n+42n)1/2 $${\epsilon }_{est}=\sigma (\frac{n+4}{2n}{)}^{1/2}$$

变换估计的协方差

• 协方差的前向传播
  结论1：令 v $v$是 RM $R^M$中的一个具有均值 v¯ $\bar{v}$和协方差矩阵 Σ $\mathrm{\Sigma }$的随机变量，假定 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是一个仿射映射：定义为 f(v)=f(v¯)+A(v−v¯) $f(v)=f(\bar{v})+A(v-\bar{v})$。那么 f(v) $f(v)$是一个具有均值 f(v¯) $f(\bar{v})$和协方差矩阵 AΣAT $A\mathrm{\Sigma }{A}^T$的随机变量
  结论2：令 v $v$是 RM $R^M$中的一个具有均值 v¯ $\bar{v}$和协方差矩阵 Σ $\mathrm{\Sigma }$的随机变量，假定 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$在 v¯ $\bar{v}$的邻域可微，那么在精确到一阶近似的程度。那么 f(v) $f(v)$是一个具有均值 f(v¯) $f(\bar{v})$和协方差矩阵 JΣJT $J\mathrm{\Sigma }{J}^T$的随机变量，其中 J $J$是 f $f$的雅可比矩阵在 v¯ $\bar{v}$的值。 v $v$方差越小，线性近似越精确

• 协方差的反向传播
  仿射情形，令 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是形为 f(P)=f(P¯)+J(P−P¯) $f(P)=f(\bar{P})+J(P-\bar{P})$的仿射映射，其中, J $J$的秩等于 M $M$。令 X $X$是 RN $R^N$中的一个具有均值 X¯=f(P¯) $\bar{X}=f(\bar{P})$和协方差矩阵 Σ $\mathrm{\Sigma }$的随机变量。令 f−1oη:RN↦RM $f^{-1}o\eta :R^N\mapsto R^M$是一个映射，它把测量矢量 X $X$映射到对应于ML估计 X^ $\hat{X}$的参数矢量 P $P$。那么 P¯=f−1oη(X) $\bar{P}=f^{-1}o\eta (X)$是一个具有均值 P¯ $\bar{P}$的随机变量，其协方差矩阵是 ΣP=(JTΣ−1XJ)−1 ${\mathrm{\Sigma }}_P=(J^T{\mathrm{\Sigma }}_X^{-1}J{)}^{-1}$
  非线性情形，令 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是一个可微映射，而 J $J$是它在点 P¯ $\bar{P}$处的雅可比矩阵。假定 J $J$的秩等于 M $M$，则 f $f$在M↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是一个可微映射，而 J $J$是它在点 P¯ $\bar{P}$处的雅可比矩阵。假定 J $J$的秩等于 M $M$，则 f $f$在