单调队列优化DP（超详细！！！）

1、概念

一、单调队列定义： 　　

其实单调队列就是一种队列内的元素有单调性（单调递增或者单调递减）的队列，答案（也就是最优解）就存在队首，而队尾则是最后进队的元素。由于其单调性因此常常会被用来维护区间最值或者下降DP的维数已达到降维来减小空间及时间的目的。

单调队列的通常应用： 　　　　

1. 维护区间最值 　　　　
2. 优化DP

【例一】求m区间内的最小值（洛谷 P1440）

题目描述

一个含有n项的数列(n<=2000000)，求出每一项前的m个数到它这个区间内的最小值。若前面的数不足m项则从第1个数开始，若前面没有数则输出0。

输入格式

第一行两个数n，m。 第二行，n个正整数，为所给定的数列。

输出格式

n行，第i行的一个数ai，为所求序列中第i个数前m个数的最小值。

输入

6 2

7 8 1 4 3 2

输出

0 7 7 1 1 3

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 思路：

一、暴力枚举以i-1为结尾的前m个数。时间O(n*m)，T T T.

二、rmq求解O(nlog n) 貌似会T

三、线段树求解 O(nlog n) 当n=1e7时也超时，空间，代码量大 须要更优的O(n)的解法处理。

四、单调队列来了 由于每个答案只与当前下标的前m个有关，因此能够用单调队列维护前m个的最小值， 　　

考虑如何实现该维护的过程？？ 　　

显然当前下标X的m个之前的元素（即下标小于X-M+1的元素）确定对答案没有贡献，因此能够将其从单调队列中删除。 　　

对于两个元素A，B，下标分别为a,b，若是有A>=B&&a<b那么B留在队列里确定优于A，所以能够将A删除。 　　 

维护队首：若是队首已是当前元素的m个以前，将head++，弹出队首元素 　　

维护队尾：比较q[tail]与当前元素的大小，若当前元素更优tail--，弹出队尾元素，直到能够知足队列单调性后加入当前元素。 　　

考虑单调队列的时间复杂度：因为每个元素只会进队和出队一次，因此为O（N）。 　　

通常建议用数组模拟单调队列进行操做，而不用系统自带的容器，由于系统自带容器不易调试且可能有爆空间的危险。

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 【 例 2】修剪草坪（信息学奥赛一本通 1599）

【题目描述】

在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，FJ 变得很懒，再也没有修剪过草坪。如今，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，FJ 但愿可以再次夺冠。 然而，FJ 的草坪很是脏乱，所以，FJ 只可以让他的奶牛来完成这项工做。FJ 有 N 只排成一排的奶牛，编号为 1 到 N。每只奶牛的效率是不一样的，奶牛 i的效率为 Ei 。 靠近的奶牛们很熟悉，若是 FJ 安排超过 K 只连续的奶牛，那么这些奶牛就会罢工去开派对。所以，如今 FJ 须要你的帮助，计算 FJ 能够获得的最大效率，而且该方案中没有连续的超过 K 只奶牛。

【输入】

第一行：空格隔开的两个整数 N和 K； 第二到 N+1 行：第 i+1 行有一个整数 Ei 。

【输出】

一行一个值，表示 FJ 能够获得的最大的效率值。

【输入样例】

5 2

1

2

3

4

5

【输出样例】

12

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sol：

设 dp[i][0] 表示以 i 结尾而且 i 不选所得的最大效率值

dp[i][1]表示以 i 结尾而且 i 要选所得的最大效率值

S[i]表示前缀和

转移方程为：

dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])

dp[i][1]=max(dp[x][0]+S[i]-S[x]);(i-m≤x<i)

能够变形为dp[i][1]=max(dp[x][0]-S[x])+S[i];(i-m≤x<i)

所以dp[i][1]能够用单调队列优化，维护队首为dp[i][0]-S[i]最大的单调队列