乱谈数学－－傅里叶变换（级数）的原理（一）

做者：唐风

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一直都没有搞清楚傅里叶变换，那些公式一看就“懂”，但合上书就忘，由于历来就没有真正地理解过。但傅里叶变换实在是过重要了，随手翻一本信号，电路的书，都能看到它的身影，避是避不开的。想要真正的入门电子系统的设计，仍是硬着头皮继续捉摸吧。

以前很“排斥”傅里叶变换的一个很重要的缘由是由于“傅里叶变换选择的是基是三角函数。”，正如以前的博文中写到，我从中学开始对三角很是反感，因此对傅里叶变换显然历来就没有真正思考和接受过。不过有以前对三角函数的反思，如今也能够从新对傅里叶变换进行理解。是的，首先就让本身对“傅里叶变换使用三角函数系作基”有个满意的解释。

不知道傅里叶老师本人当时究竟是怎么想的（究竟是由于他的问题自己对使用三角函数特别有启发性，仍是灵光一闪），我无从追究（暂时没有这个精力去看他老爷子的著做），既然傅氏变换能有如此普遍的适用性，那么三角函数系自己必定有特别的性质，把这个弄清楚就行了。不过，三角函数那些漂亮的数学性质不是本文的重点，这里我想讨论一点“虚”的东西。

从工程中的研究对象来讲，咱们处理的函数（或是信号）都是必定的能量的体现，好比电压，电流，好比力形成的位移等等。若是是很是规律的信号，好比那些初等函数就能够表示的，那天然是没什么好说，全部性质都研究地透透的。不过天然界极少存在这样理想的信号，咱们遇到的信号都是很是不规律的。好比咱们说话的声音，转成电信号（或是数字信号）时，从时域的波形来看简直就不知道那是些什么东西。但咱们知道，形成这些信号的“来源”，实际上是能量（或是力，这么说可能在物理上不必定对，不过能帮助我理解）。咱们若是能把这些能量作线性的分解（线性组合是最简单的组合关系，因此咱们先尽可能作线性地分解），那么可能就能找到一些处理这些信号的方法。

分解成一堆恒定（常量）的力是不行的，由于恒定的力带有的“特性”太少，作线性组合以后的结果仍是恒定的。那么咱们须要找一种“变化元素（力）”，它不能过于复杂，复杂到对它自己咱们也没法研究，那就没有意义了。同时它还得具有比较好的，有表明性的“变化特性”，不然没法用这些元素来表达丰富的变化。这个“变化元素”的最佳人选是什么呢？就是简谐振动的“力”。在简谐振动中，驱动振动的力的大小是与物体离中心的距离成正比的 F=-kx（x是位移），方向则始终指向振动的中心点。这个力是变化规律是线性的，线性是变化中最简单的一种了，这个好，并且它还有两个很好的特征，一个是它是周期性的，另外一个是它是“相对某一原点对称的”，太美了！从中学的物理中咱们就知道了，简谐振动的运动方程正是三角函数，简谐振动的性质咱们也已经研究得透透的了。而三角函数正是傅里叶变换的基。

是的，就是这样了，傅里叶变换的就是把一个复杂的信号的“驱动（力）源”，分解成一系列相对简单的力（简谐振动）来分析，从信号的形状（波形）来看，就是把函数分解成一系列的三角函数。这就很好理解的，咱们就是要找到方向，把未知化为已知，这是一个很好的“方向”，那么，傅里叶变换下一个问题，就是是否是全部的信号均可以这样分解呢？反过来讲，是否是“简谐振动”的这种力（能量）的线性组合，能够组合出全部各类变化的力（能量）呢？

未完待续。