正态QQ图的原理

正态QQ图的原理

QQ图经过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较，从而来检验数据的分布状况。QQ图是一种散点图,对应于正态分布的QQ图,就是由标准正态分布的分位数为横坐标,样本值为纵坐标的散点图。要利用QQ图鉴别样本数据是否近似于正态分布,只需看QQ图上的点是否近似地在一条直线附近,图形是直线说明是正态分布，并且该直线的斜率为标准差,截距为均值，用QQ图还可得到样本偏度和峰度的粗略信息。图形中有一段是直线，在两端存在弧度，则可说明峰度的状况。图形是曲线图，说明不对称。若是Q-Q图是直线，当该直线成45度角并穿过原点时，说明分布与给定的正态分布彻底同样。若是是成45度角但不穿过原点，说明均值与给定的正态分布不一样，若是是直线但不是45度角，说明均值与方差都与给定的分布不一样。若是Q-Q图中间部分是直线，可是右边在直线下面，左边在直线上面，说明分布的峰度大于3，反之说明峰度小于3；图形是曲线图，说明不对称。

分位数（quantile fractile）又称百分位点，或者下侧分位数。 定义：设连续随机变量X的分布函数为F(X)，密度函数为p(x)。那么，对任意0<p<1的p，称F(X)=p的x为此分布的分位数，或者下侧分位数。简单的说，分位数指的就是连续分布函数中的一个点，这个点对应几率p。

R语言模拟

rd=rnorm(100) 
plot(density(rd),main = "正态随机变量几率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,100),pch=20,col=rainbow(100))

经过上图能够看出，产生的100个随机数多数集中在[-1,1]之间，且均值为0。

t=rank(rd)/100 #求观察累积几率
q=qnorm(t) #用累积几率求分位数值
plot(rd,q,main = "Q-Q图",pch=20,col=rainbow(100)) #画Q-Q图
abline(0,1,lwd=2)

第二次模拟1000个随机数

n=1000
rd=rnorm(n) 
plot(density(rd),main = "正态随机变量几率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,n),pch=20,col=rainbow(n))

t=rank(rd)/n #求观察累积几率
q=qnorm(t) #用累积几率求分位数值
plot(rd,q,main = "Q-Q图",pch=20,col=rainbow(n)) #画Q-Q图
abline(0,1,lwd=2)

第三次模拟5000个随机数

n=2000
rd=rnorm(n) 
plot(density(rd),main = "正态随机变量几率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,n),pch=20,col=rainbow(n))

t=rank(rd)/n #求观察累积几率
q=qnorm(t) #用累积几率求分位数值
plot(rd,q,main = "Q-Q图",pch=20,col=rainbow(n)) #画Q-Q图
abline(0,1,lwd=2)

可见，经过QQ图能够看出，样本值越大，随机数的分布状态越近似于正态分布。

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