【Java基础】1四、位与(&)操做与快速取模

因为位运算直接对内存数据进行操做，不须要转成十进制，所以处理速度很是快。

 

按位与（Bitwise AND），运算符号为&

a&b 的操做的结果：a、b中对应位同时为1，则对应结果位也为一、

例如：

10010001101000101011001111000

& 　　　　　　　　  111111100000000

---------------------------------------------

　　　　　　　　　　　　　　      101011000000000

 

对10101100000000进行右移8位获得的是101011，这就获得了a的8~15位的掩码了。

那么根据这个启示，判断一个整数是不是处于 0-65535(2^16) 之间（经常使用的越界判断）：

用通常的 (a >= 0) && (a <= 65535) 可能要两次判断。

改用位运算只要一次：

a & ~((1<< 16)-1)

1 2 3 4 5 6

Ex: 1 0000 0000 0000 0000                                //1 << 16 = 65536 0 1111 1111 1111 1111                                //(1 << 16) -1 = 65535 1111 11... 0000 0000 0000 0000           　　　　　　  //上一步结果~运算，高位都置1，小于65536的位置0，   a & 1111 .. 0000 0000 0000 0000 　　　　　　　　　　　　 //为真，说明高位有值，大于65535

　　

后面的常数是编译时就算好了的。其实只要算一次逻辑与就好了。

 

经常使用技巧：

 

一、 用于整数的奇偶性判断

 

一个整数a, a & 1 这个表达式能够用来判断a的奇偶性。二进制的末位为0表示偶数，最末位为1表示奇数。使用a%2来判断奇偶性和a & 1是同样的做用，可是a & 1要快好多。

 

二、 判断n是不是2的正整数冪

 

(!(n&(n-1)) )&& n

 

举个例子：

若是n = 16 = 10000， n-1 = 1111

那么：

10000

& 1111

----------

           0

再举一个例子：若是n = 256 = 100000000， n-1 = 11111111

那么：

100000000

&11111111

--------------

0

好！看完上面的两个小例子，相信你们都有一个感性的认识。从理论上讲，若是一个数a他是2的正整数幂，那么a 的二进制形式一定为1000…..（后面有0个或者多个0），那么结论就很显然了。

 

三、 统计n中1的个数

 

朴素的统计办法是：先判断n的奇偶性，为奇数时计数器增长1，而后将n右移一位，重复上面步骤，直到移位完毕。

朴素的统计办法是比较简单的，那么咱们来看看比较高级的办法。

 

举例说明，考虑2位二进制数 n=11，里边有2个1，先提取里边的偶数位10，奇数位01，把偶数位右移1位，而后与奇数位相加，由于每对奇偶位相加的和不会超过“两位”，因此结果中每两位保存着数n中1的个数；相应的若是n是四位整数 n=0111，先以“一位”为单位作奇偶位提取，而后偶数位移位（右移1位），相加；再以“两位”为单位作奇偶提取，偶数位移位（这时就须要移2位），相加，由于此时没对奇偶位的和不会超过“四位”，因此结果中保存着n中1的个数，依次类推能够得出更多位n的算法。整个思想相似分治法。
在这里就顺便说一下经常使用的二进制数：

0xAAAAAAAA=10101010101010101010101010101010

0x55555555 = 1010101010101010101010101010101（奇数位为1，以1位为单位提取奇偶位）

 

0xCCCCCCCC = 11001100110011001100110011001100

0x33333333 = 110011001100110011001100110011（以“2位”为单位提取奇偶位）

 

0xF0F0F0F0 = 11110000111100001111000011110000

0x0F0F0F0F = 1111000011110000111100001111（以“8位”为单位提取奇偶位）

 

0xFFFF0000 =11111111111111110000000000000000

0x0000FFFF = 1111111111111111（以“16位”为单位提取奇偶位）

 

例如：32位无符号数的1的个数能够这样数：

 

int count_one(unsigned long n)
{
//0xAAAAAAAA，0x55555555分别是以“1位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);

//0xCCCCCCCC，0x33333333分别是以“2位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);

//0xF0F0F0F0，0x0F0F0F0F分别是以“4位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);

//0xFF00FF00，0x00FF00FF分别是以“8位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xFF00FF00) >> 8) + (n & 0x00FF00FF);

//0xFFFF0000，0x0000FFFF分别是以“16位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xFFFF0000) >> 16) + (n & 0x0000FFFF);

return n;
}

举个例子吧，好比说个人生日是农历 2月11，就用211吧，转成二进制：

n = 11010011

计算n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);

获得 n = 10010010

计算n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);

获得 n = 00110010

计算n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);

获得 n = 00000101 -----------------à没法再分了，那么5就是答案了。

四、对于正整数的模运算（注意，负数不能这么算）

 

先说下比较简单的：

乘除法是很消耗时间的，只要对数左移一位就是乘以2，右移一位就是除以2，传说用位运算效率提升了60%。

乘2^k众所周知： n<<k。因此你之后还会傻傻地去敲2566*4的结果10264吗？直接2566<<4就搞定了，又快又准确。

 

除2^k众所周知： n>>k。

 

那么 mod 2^k 呢？（对2的倍数取模）

n&((1<<k)-1)

用通俗的言语来描述就是,对2的倍数取模，只要将数与2的倍数-1作按位与运算便可。

好！方便理解就举个例子吧。

思考：若是结果是要求模2^k时，咱们真的须要每次都取模吗？

 

在此很容易让人想到快速幂取模法。

快速幂取模算法

常常作题目的时候会遇到要计算 a^b mod c 的状况，这时候，一个不当心就TLE了。那么如何解决这个问题呢？位运算来帮你吧。

 

首先介绍一下秦九韶算法：(数值分析讲得很清楚)

把一个n次多项式f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成以下形式：

　　f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]

　　= (a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]

　　= ((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]

　　=. .....

　　= (......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].

　　求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

　　v[1]=a[n]x+a[n-1]

　　而后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

　　v[2]=v[1]x+a[n-2]

　　v[3]=v[2]x+a[n-3]

　　......

　　v[n]=v[n-1]x+a[0]

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。

 

好！有了前面的基础知识，咱们开始解决问题吧

由(a ×b) mod c=( (a mod c) × b) mod c.

咱们能够将 b先表示成就：

b = a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^(t-1) + …… + a[0] × 2^0. (a[i]=[0,1]).

这样咱们由 a^b mod c = (a^(a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^（t-1） + …a[0] × 2^0) mod c.

然而咱们求 a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c .求得。

具体实现以下：

使用秦九韶算法思想进行快速幂模算法，简洁漂亮

 

// 快速计算 (a ^ p) % m 的值
__int64 FastM(__int64 a, __int64 p, __int64 m)
{
if (p == 0) return 1;
__int64 r = a % m;
__int64 k = 1;
while (p > 1)
{
if ((p & 1)!=0)
{
k = (k * r) % m;
}
r = (r * r) % m;
p >>= 1;
}
return (r * k) % m;
}

 

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3070

 

五、计算掩码

好比一个截取低6位的掩码：0×3F
用位运算这么表示：(1<< 6) - 1
这样也很是好读取掩码，由于掩码的位数直接体如今表达式里。

按位或运算很简单，只要a和b中相应位出现1，那么a|b的结果相应位也为1。就很少说了。

六、子集

　　枚举出一个集合的子集。设原集合为mask，则下面的代码就能够列出它的全部子集：

　　for (i = mask ; i ; i = (i - 1) & mask) ;