快速幂与大数乘积取模

快速幂：

计算a^n%p的值，怎么算呢？直接算固然可能溢出。咱们有一条引理：(a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p.在这个引理上进行指数上的合并从而获得快速幂算法。

具体地，有两种思路，一种是减少a值，以防溢出，一种是减少b值，加快计算。

怎么减少a值？a=a%p，就把a的值降到了p如下。对b呢，咱们发现，( a%p)*(a%p)=(a^2)%p，若是a^n次方n为偶数，a^(2m)%p = ((a^2)^m)%p，若是n为奇数，就先单独乘一个a，剩下的又是偶数了，这样n为偶数时就能够把n减少一半，从而下降了b的规模。

大数乘取余：

计算(a*b)%p怎么办？((a%p)*(b%p))%p仍是会溢出。

下面用到一种思想，神奇与上面的快速幂有殊途同归之妙，把b当作二进制表示。

举个栗子：4*13%p，当作是4*1101(2)%p，其实表示的是4*(1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0)%p，那么咱们在计算的时候就把b当作二进制，若是二进制最后一位是1，就说明这一位应该乘a取余，为零说明这一位不用乘a，从低位开始不断将b的二进制式右移，同时将a乘以2，等同于把基数平方，缘由见上式。

代码：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 long long q_mod(long long a,long long n,long long p)
 4 {
 5     a = a%p;
 6     //首先降a的规模
 7     long long sum = 1;//记录结果
 8     while(n)
 9     {
10         if(n&1)
11         {
12             sum = (sum*a)%p;//n为奇数时单独拿出来乘
13         }
14         a = (a*a)%p;//合并a降n的规模
15         n /= 2;
16     }
17     return sum;
18 }
19 long long q_mul(long long a,long long b,long long p)
20 {
21     long long sum = 0;
22     while(b)
23     {
24         if(b&1)//若是b的二进制末尾是零
25         {
26             (sum += a)%=p;//a要加上取余
27         }
28         (a <<= 1)%=p;//不断把a乘2至关于提升位数
29         b >>= 1;//把b右移
30     }
31     return sum;
32 }

能够发现二者很是的类似，差异在于结果变量的初值和计算中加号和乘号的区别。

参考文章：

这几篇写得仍是比较清晰的：

六小聪，ACM算法：快速幂取模（详细），https://blog.csdn.net/dbc_121/article/details/77646508

ygeloutingyu，大数乘法取模运算（二进制），https://www.cnblogs.com/geloutingyu/p/5886626.html