计量经济学导论11：波动率模型

时间 2021-02-16

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波动率模型

波动率模型

什么是波动率？

波动率指的是资产价格的波动强弱程度，相似于几率论中随机变量标准差的概念。波动率不能直接观测，能够从资产收益率中看出波动率的一些特征。函数

为创建波动率随时间变化的通常模型，咱们定义波动率是收益率的条件标准差。设 \(r_t\) 是某种资产在 \(t\) 时刻的基于某时间单位的对数收益率，通常认为 \(\{r_t\}\) 序列是先后不相关的或低阶自相关的，但不是先后独立的时间序列。ui

一元波动率模型就是试图刻画收益率这种自己不相关或低阶自相关，但先后不独立的模型。用 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 时刻的收益率的所有历史信息，尤为是包括这些收益率的线性组合。考虑 \(r_t\) 在 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 条件下的条件均值和条件方差：spa

\[\mu_t={\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \ \ \ \ \sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ . \]

能够将 \(r_t\) 分解为：数学

\[r_t=\mu_t+a_t \ , \]

其中 \(\{a_t\}\) 为不相关的白噪声序列，这里咱们对白噪声序列假设 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) 。这个条件比不相关零均值白噪声序列的条件要强一些。综合以上条件，能够有class

\[\sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm Var}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(a_t^2|\mathcal{F}_{t-1}) \ . \]

这里的 \(\sigma_t\) 就是波动率，是收益率的条件标准差。变量

若是假设模型中的白噪声 \(\{a_t\}\) 是独立序列，则 \(\sigma_t^2\equiv\sigma^2\) ，波动率就没有建模的可能。可是实际上，假定 \(\{a_t\}\) 是零均值不相关的白噪声，知足 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) ，但并非独立序列。扩展

波动率模型的主要问题就是对 \(\sigma_t^2\) 建模，这种模型叫作条件异方差模型。将收益率 \(r_t\) 分解后，有方法

\[a_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \]

称 \(\{a_t\}\) 为资产收益率 \(\{r_t\}\) 在 \(t\) 时刻的新息。\(\sigma_t^2\) 的模型称为 \(\{r_t\}\) 的波动率方程。im

\({\rm ARCH}\) 模型引入

自回归条件异方差模型，简称为 \({\rm ARCH}\) 模型。这是咱们将波动率定义为条件标准差以后，第一次提出的波动率的理论模型。di

咱们一般意义上考虑的异方差问题，是指在一个静态模型中，随机偏差项的方差取决于模型中的解释变量。然而在时间序列模型中，咱们还须要对异方差的动态形式加以考虑。即便不存在一般意义上的异方差，随机偏差项的方差还可能取决于时间序列在之前时期的波动程度。咱们用条件方差来理解这一问题。

考虑一个简单静态模型

\[y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ , \]

若是该模型知足时间序列模型假设 TS.1-TS.5，则显然 OLS 估计量仍然是 BLUE 的。这里的同方差假设指的是 \({\rm Var}(u_t|X)\) 是一个常数。但若是改变条件，还可能存在其余形式的异方差：

\[{\rm Var}(u_t|X,u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|X,u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ , \]

这就是一阶自回归条件异方差模型。

通常地，咱们省略解释变量条件，将 \({\rm ARCH}(1)\) 模型写为

\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ . \]

\({\rm ARCH}(1)\) 模型

创建 \({\rm ARCH}\) 模型考虑了两个基本思想：

(1) 随机扰动序列 \(u_t\) 是先后不相关的，但不独立的。

(2) 序列 \(u_t\) 的不独立性能够描述为基于历史信息的条件方差 \({\rm Var}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})\) 能够用二次项序列 \(u_t^2\) 的滞后项的线性组合表示。

其中 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 指的是 \(t-1\) 期的所有信息。

在 Wooldridge 的《计量经济学导论》中，将 \({\rm ARCH}(1)\) 模型近似设定为

\[u_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+v_t \ , \ \ \ \ v_t\sim{\rm WN}(0,\,\sigma_0^2) \ . \]

因为条件方差恒正，所以在这个模型中，只有当 \(\alpha_0>0\) 且 \(\alpha_1>0\) 时该模型是有具备动态意义的。

更加广为使用的 \({\rm ARCH}(1)\) 模型是 Tsay 在《金融时间序列分析》中给出的模型设定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ , \]

其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值标准方差的独立同分布白噪声 \({\rm WN}(0,\,1)\)

首先求解条件方差：

\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1})={\rm E}(u_t^2|u_{t-1})=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)=\sigma_t^2 \]

接着求解无条件方差：

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t)&={\rm E}(u_t^2)={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma^2_t{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\ &={\rm E}(\sigma_t^2)={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2)=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)\ . \end{aligned} \]

因为 \(\{u_t\}\) 是一个零均值平稳序列，有 \({\rm E}(u_t)=0\) 和 \({\rm Var}(u_t)={\rm Var}(u_{t-1})\) ，所以

\[{\rm Var}(u_t)=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t-1})=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t}) \ , \]

进而有

\[{\rm Var}(u_t)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1} \ . \]

这里要求 \(0<\alpha_1<1\)

\({\rm ARCH}(m)\) 模型

进而咱们将模型扩展为通常的 \({\rm ARCH}(m)\) 模型，首先给出模型设定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2 \]

其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值标准方差的独立同分布白噪声 \({\rm WN}(0,\,1)\) ，而且 \(\alpha_0>0\ ,\ \alpha_j\geq0\ ,\ j=1,2,\cdots,m\) 。通常假设为标准正态分布或是标准化的 \(t\) 分布。

另外 \(\{\alpha_j\}\) 还须要知足使得 \({\rm Var}(u_t)\) 有限的条件，相似于 \({\rm AR}(p)\) 序列的平稳性的特征根条件，而且

\[\sum_{j=1}^m\alpha_j<1\ . \]

模型设定中的第二个方程被称为波动率方程。因为该方程的右侧仅出现了截止到 \(t-1\) 时刻的肯定性函数而没有新增的随机扰动，因此称 \({\rm ARCH}\) 模型为肯定性的波动率模型。

设 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示 \(t-1\) 期的所有历史信息，由 \(\{\varepsilon_t\}\) 的独立性知 \(\{\varepsilon_t\}\) 和 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 独立。

相似于 \({\rm ARCH}(1)\) 模型的无条件方差，能够利用全指望公式计算获得 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的无条件方差以下：

首先计算条件方差

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)&= {\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\ &=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\ &=\sigma_t^2 \end{aligned} \]

进而计算无条件方差

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&= {\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)\right] \\ &={\rm E}(\sigma_t^2) \\ &={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2) \\ &=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\cdots+\alpha_m{\rm E}(u_{t-m}^2)\ . \end{aligned} \]

由 \(\{u_t\}\) 的平稳性 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)=\cdots={\rm E}(u_{t-m}^2)\) 能够解得

\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\displaystyle\sum_{j=1}^m\alpha_j} \ . \]

以上就是经常使用的 \({\rm ARCH}\) 模型的性质。但咱们也会发现 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的具备以下缺点：模型中引入的都是扰动项 \(u_t\) 的平方项，所以恒为正值，没有考虑正、负扰动对于波动率的不对称影响。此外，\({\rm ARCH}\) 模型不能提供更多信息来帮助理解方程的来源，仅仅提供一种方法来描述条件方差是如何变化的。

\({\rm GARCH}\) 模型引入和模型设定

在以前的介绍中，\({\rm ARCH}\) 模型用来描述波动率能获得很好的效果，但实际建模时可能须要较高的阶数。提出了ARCH模型的一种重要推广模型，称为 \({\rm GARCH}\) 模型。

Tsay 在《金融时间序列分析》一书中引入了对数收益率 \(r_t\) 的概念。事实上，对于一个对数收益率 \(r_t\) 的新息序列

\[u_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \]

经常用 \({\rm GARCH}\) 模型来刻画 \(\{u_t\}\) 序列的性质。下面给出通常状况下 \({\rm GARCH}(m,\,s)\) 的模型设定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{t-i}^2+\sum_{j=1}^s\beta_j\sigma_{t-j}^2 \ , \]

其中，\(\{\varepsilon_t\}\) 为零均值单位方差的独立同分布白噪声序列，\(\alpha_0>0\ , \ \alpha_i\geq0\ , \ \beta_j\geq0\) ，而且

\[0<\sum_{i=1}^m\alpha_i+\sum_{j=1}^s\beta_j<1 \]

这个条件用来保证知足模型的的 \(u_t\) 无条件方差有限且不变，而条件方差 \(\sigma_t^2\) 能够随时间 \(t\) 的变化而变化。

\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型

下面以最简单的 \({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型为例研究 \({\rm GARCH}\) 模型的性质。依然定义 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 时刻的 \(u_{t-i}\) 和 \(\sigma_{t-j}\) 所包含的所有历史信息。首先写出模型设定：

\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \ \ \ \ \varepsilon_t\sim{\rm i.i.d.}\,{\rm WN}(0,\,1)\ , \]

\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\ , \]

计算出条件指望：

\[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(\sigma_t\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=\sigma_t{\rm E}(\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=0 \ . \]

这里利用了 \(\sigma_t\in\mathcal{F}_{t-1}\) 和 \(\varepsilon_t\) 与 \(\mathcal{F}\) 独立。
进而计算无条件指望

\[{\rm E}(u_t)={\rm E}[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})]=0 \ . \]

即 \({\rm GARCH}\) 模型的新息 \(u_t\) 的无条件指望为零。
最后利用全指望公式计算无条件方差，假设 \(\{u_t\}\) 序列存在严平稳解，则有

\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[{\rm E}(\sigma_t^2\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right] \\ \\ &={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\ \\ &={\rm E}\left[\sigma_t^2\right]={\rm E}\left[\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\right] \\ \\ &=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\beta_1{\rm E}(\sigma_{t-1}^2) \\ \\ &=\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1){\rm E}(u_{t-1}^2)\ . \end{aligned} \]

由 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)\) 解得

\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1} \ . \]

\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 预测波动率示例

首先写出利用截止到 \(h\) 时刻的观测值做一步预测的波动率模型：

\[\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2\in\mathcal{F}_h \ . \]

所以有数学指望

\[\sigma_h^2(1)={\rm E}(\sigma^2_{h+1}|\mathcal{F}_h)=\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2 \ . \]

这说明对将来波动率的一步预测能够利用波动率模型直接给出。

继续计算两步预测：
利用 \(u_t=\sigma_t\varepsilon_t\) 化简 \(\sigma_{h+2}^2\) :

\[\begin{aligned} \sigma_{h+2}^2&=\alpha_0+\alpha_1u_{h+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+\alpha_1\sigma_{h+1}^2\varepsilon_{j+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2 \ . \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \sigma_h^2(2)&={\rm E}(\sigma^2_{h+2}|\mathcal{F}_h) \\ \\ &={\rm E}\left[\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h\right] \\ \\ &=\alpha_0+{\rm E}\left[\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1|\mathcal{F}_h\right]\sigma_h^2(1) \\ \\ &=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(1) \ . \end{aligned} \]

相似地，能够求得递推预测公式：

\[\sigma_h^2(l)=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(l-1) \ , \]

迭代计算得

\[\sigma_h^2(l)=\frac{\alpha_0\left[1-(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\right]}{1-(\alpha_1+\beta_1)}+(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\sigma_h^2(1) \ , \]

当 \(l\to\infty\) 时，有

\[\sigma_h^2(l)\to\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\beta_1)}={\rm Var}(u_t) \ . \]

即波动率的多步条件方差预测趋于的 \(u_t\) 的无条件方差。

和 \({\rm ARCH}\) 模型相似，使用 \({\rm GARCH}\) 模型对于收益率的正负不对称性仍然没法反映。