贪心 穷举 动态规划 区别

 

咱们面对的是一个求最优解或统计之类的问题，这个问题基于“咱们要模拟完成一个大任务”，这个大任务能够分红若干步骤，每一个步骤有若干种决策，每一个步骤完成后，就到达了一个阶段性状态
好比，你要从A地到Z地，没有直达，因此第一步须要到一个中间地点，好比H或I，第二步再前进，好比到P或Q，最后到达Z，每一步有若干决策，好比第一步你能够决定到H或I的中的某个，大体就是这样一个模型，能够本身画个地图看看
等等，你大概发现问题了，若是第一步到H和I均可以，第二步到P和Q均可以，那我每一步只选最优，不就用贪心获得结果了吗，没错，若是你须要经历的每一个阶段状态跟决策无关，那就贪心获得结果好了，理解贪心了吗：）

然而现实状况多是，你第一步的选择会影响后面的分支，好比你第一步能够选择到H或I，可是到了H后，你只能选择通过P或Q到Z了，而若是到了I，你只能选择R或S到Z，这样一来，即使第一步到H或I你选择了较好的一条路，也不保证最终结果最优，由于好比你选了H，那万一I-R-Z的路要比H开始到Z的路径短了更多，最优路径多是A-I-R-Z，因此你要把这些路都尝试一遍，才知道哪一个最优，理解穷举了么？：）

OK，咱们稍微改下题设，假如从I出发不是到R和S，而是到Q或R，会如何

诚然，咱们能够用穷举每条路来解决这个问题，须要穷举的路径数和上面的图同样，可是，咱们能够有更快的办法，你不用将A-H-Q-Z和A-I-Q-Z两条路单独计算，由于他们有状态交点，结合第一张图的思想，能够敏锐地感受到，咱们只须要计算到每一个有共同状态的位置求各阶段的最优，最后每阶段选最优组合贪心组合起来就行，由于各阶段完成的状态点是你们都有的嘛，所以，我们先计算A-H-Q和A-I-Q，选个最好的，而后跟Q到Z中最好的拼起来，就是最优了，不必把全部路径都搞一遍（虽然图里面Q到Z直达，但你能够发挥想象力，将其想象成各类分支的一条复杂道路），这样一来就把一个x^(a+b+c+...)的计算次数下降为x^a+x^b+x^c...，其中x表明每次的决策次数（简单点假设每次决策次数都同样），abc表明每一个阶段的步骤数

所以，咱们能够从A开始，向Z进行BFS，并对BFS中每一个点保存最优状态，若是有不一样的路径BFS到了同一个点，留最好的一条就行，好比上面这个，你的算法可能先从A-H-Q搜到了Q这个位置，以后从A-I-Q又到了这里，留最好的一条，最后一轮从PQR三个点到Z，就结束了，相对第二章图要少一次运算

若是你理解了，恭喜你已经能有效解决不少须要DP的问题了，同时还学会了解图论的单源最短路径问题呢

 

最后用经典的0-1背包问题作个例子，巩固一下吧，这个任务是，咱们从N个物品选若干塞到能够承受最大重量W的包包里面，要价值最大，所以就能够将任务分红N个步骤，每一个步骤面对第i号物品，决策有两条：选，仍是放弃，这里的状态，就是影响以后步骤决策的因素，在这里，就是“背包的剩余空间”

好比，物品的重量是1,2,3,4,5,6，W=12，从头决策，0表示放弃，1表示选，BFS三次后有8种状态：
000 剩12
001 剩9
……（略）
110 剩9
……（略）
前三次步骤后，001和110到达了一样的状态，都是剩余可装重量9的东西，这样在剩下的决策中，这俩分支走的路都是同样的，跟你以前是选了001仍是110没有任何关系（无后效性），所以只要看001价值大，仍是110价值大就能够了，8个状态减小为7个，继续BFS下去，每一轮都合并一样状态，完成后，从最后一轮的全部状态中，找到价值最大的就ok了

因为状态最多有W+1个，进行N轮，所以复杂度O(NW)，书上说的状态迁移方程的办法其实跟这个过程很相似，不过对于有些题目，比起BFS+状态合并，状态方程的分析能够作更好的优化，如引入单调队列什么的，但BFS+状态合并可让你获得一个没有追求极限可是也比较快的解决方案了，结合具体问题有时候更适合，好比根据问题的实际需求，搜索能够限界剪枝减小工做量，我在工做中就用过，替换了同事从wiki抄的DP算法，效率能提高一些

 

做者：冒泡
著做权归做者全部。商业转载请联系做者得到受权，非商业转载请注明出处。