最小树形图

时间  2020-07-15 标签 小树 形图

 

     前几天为了UVa的一道题不得不重写了一个最小树形图O(VE)的模板，原先的是邻接矩阵版，因此复杂度是O(V^3)的。个人计划就是学/复习一个算法就 写一个总结上来，最后能逐渐的把个人学习经历记录一下。固然把其中一些理解写出来的话也会更加的深入，或许还能帮到某些人，不是么，呵呵。
最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点v，求一棵有向生成树T，使得该有向树的根为v，而且T中全部边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
判断是否存在树形图的方法很简单，只须要以v为根做一次图的遍历就能够了，因此下面的算法中再也不考虑树形图不存在的状况。
在全部操做开始以前，咱们须要把图中全部的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操做，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根以外的每一个点选定一条入边，这条入边必定要是全部入边中最小的。如今全部的最小入边都选择出来了，若是这个入边集不存在有向环的话，咱们能够 证实这个集合就是该图的最小树形图。这个证实并非很难。若是存在有向环的话，咱们就要将这个有向环所称一我的工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在 该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中链接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中创建边(i, new, w-in[u])的边。为何入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。而后能够证实，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不作证实了。如今依据上面的结论，说明一下为何出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开之后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候咱们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就获得了原图中的一个树形图。咱们会发现，若是新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在咱们删除 掉in[u]，而且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。因此在展开节点以后，咱们 获得的仍然是最小树形图。逐步展开全部的人工节点，就会获得初始图的最小树形图了。
若是实现得很聪明的话，能够达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里须要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，而后最多会收缩几回呢？因为咱们一开始已经拿掉了全部的 自环，我门能够知道每一个环至少包含2个点，收缩成1个点以后，总点数减小了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。因此咱们最 多只会进行V-1次的收缩，因此总得复杂度天然是O(VE)了。因而可知，若是一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。

最小树形图的总结到此为止了。目前为止发现的有OJ可交的最小树形图总共有3道题，分别是UVa 11183 Teen Girl Squad , TJU 2248 Channel Design , PKU 3164 Command Network 。其中UVa的题V = 1000, E = 40000，PKU和TJU是V = 100, E = 10000。在PKU/TJU下，因为数据范围的限制，采用O(V^3)的邻接矩阵会比O(VE)的邻接表快，而UVa的题显然只能用O(VE)的树形图算法了。html

Chu-Liu/Edmonds Algorithm 学习

Chu-Liu/Edmonds Algorithm 用來求出有向圖的其中一棵最小生成樹（或者最大生成樹）。spa

 

想法htm

一棵生成樹上每一個點，都僅有一條入邊（除了根之外）。要找生成樹，圖上每一個點，都必須找到一條入邊（但不會是本身連向本身的入邊）。blog

既然要找最小生成樹，當然就是找權重越小的邊越好囉。每一個點（除了根之外）各自找到權重最小的入邊之後，有可能就剛好是一棵最小生成樹了，可是也有可能造成幾隻水母。get

水母（沒有正式名稱，因為像水母就把它叫作水母）it

由於每個點都僅有一條入邊，若是造成環，環上必定只有出邊，不會有入邊。每個點都僅有一條入邊，除了剛好造成一棵樹之外，要不就是造成水母──一只環再加上環上的點各是一棵樹的樹根，或者說是不少棵樹的樹根用環串起。io

 

水母與最小生成樹模板

 

最小生成樹不得有環，因此水母是不合格的。然而水母是權重最小的連接方式，如有一棵恰當的最小生成樹，其權重會稍高於水母。

1、改變水母環上的邊，讓水母變成一棵樹。儘管整體權重稍微變大，但仍可接受。

2、改變水母觸手上的邊，並沒有比較好。不但讓整體權重變大，并且水母環仍舊存在，並沒有解決掉不合格的問題。

获得結論：只须要嘗試打開水母環上的邊就好了。打開邊的時候，要同時考慮新連入的邊的權重，以及被取消的邊的權重。選擇差值最小者，可讓總權重增长最小。進入水母環的邊所有都看過一遍後，就能選出差值最小者。

 

 

連入水母環的邊

 

根據 Kruskal's Algorithm 提到的最小生成樹相連性質，能够知道連接多隻水母，就和連接多棵最小生成樹的道理是一樣的，以權重小的邊來連接是最好的。惟一不一样的是， Kruskal's Algorithm 一旦發現形成環的邊，就直接捨棄； Chu-Liu/Edmonds Algorithm 則是留下形成環的邊（造成水母），並且嘗試各種打開環的方式。

 

 

演算法

1. 刪去全部本身連向本身的入邊。

2. 重複如下步驟，直到造成生成樹為止：

　甲、找出圖上每個點的最小入邊。O(E)

　　　若是有兩個點以上找不到入邊，則表示生成樹不存在。

　　　（找不到入邊的點可做為生成樹樹根）

　乙、找出全部水母。若是沒有水母就表示目前已经是最小生成樹。O(V)

　丙、調整全部進入水母環的邊的權重。O(E)

　　　w(a, x) -= w(å, x)，åx是x點的最小入邊，ax為其余連入x點的邊。

　丁、收縮水母環成為一點。O(E)

若是要固定樹根的話：

1. 刪去全部本身連向本身的入邊。

2. 移除樹根的所有入邊。

3. 判斷樹根能不能連到圖上各個點，否則生成樹不存在。

4. 重複如下步驟，直到造成生成樹為止：

　甲、找出圖上每個點的最小入邊。O(E)

　乙、找出全部水母。若是沒有水母就表示目前已经是最小生成樹。O(V)

　丙、調整全部進入水母環的邊的權重。O(E)

　　　w(a, x) -= w(å, x)，åx是x點的最小入邊，ax為其余連入x點的邊。

　丁、收縮水母環成為一點。O(E)

最糟的情況是每個步驟中剛好產生一直水母環有兩個點的水母，水母環進行收縮後，整張圖只減少一個點。因此最多要進行 V-1 次步驟，總共的時間複雜度會是 O(V*E) 。

據說此演算法還能够加速成 O(V^2) 以及 O(ElogV) ，不過我不知道怎麼作就是了。

 

 

固定樹根：找出一棵最小生成樹＋計算最小生成樹權重（簡單的資料結構）

?
  1. int  V, E;  
  2. struct  Edge { int  a, b, c;} Ed[40000];  
  3. int  d[1000], p[1000], v[1000], n[1000], m[1000];  
  4. // 每個點最小入邊的權重，每個點最小入邊的來源，   
  5. // 拜訪過，水母環，已收縮。   
  6.   
  7. int  MST( int  r)  
  8. {  
  9.     memset(m, 0, sizeof (m));  
  10.   
  11.     // 目前生成樹的權重，累計收縮水母環而失去的權重。   
  12.     int  w1 = 0, w2 = 0;   
  13.     while  ( true )     // 一旦造成生成樹就中止。最多執行V-1次。   
  14.     {  
  15.         /* O(E) graph traversal.  
  16.                 find minimum in-edge for each vertice.  
  17.  
  18.             --->o  
  19.         */   
  20.         memset(d, 1, sizeof (d));  
  21.         memset(p, -1, sizeof (p));  
  22.   
  23.         for  ( int  i=0; i<E; ++i)  
  24.         {  
  25.             int  &a = Ed[i].a, &b = Ed[i].b, &c = Ed[i].c;  
  26.             if  (a != b && b != r && c < d[b])  
  27.                 d[b] = c, p[b] = a;  
  28.         }  
  29.   
  30.         /* O(V) jellyfish detection  
  31.              ___  
  32.             /   /  
  33.             /___/  
  34.            _/|||/_  
  35.             //1//  
  36.         */   
  37.         memset(v, -1, sizeof (v));  
  38.         memset(n, -1, sizeof (n));  
  39.   
  40.         w1 = 0;  
  41.         bool  jf =  false ;  
  42.         for  ( int  i=0; i<V; ++i)  
  43.         {  
  44.             if  (m[i])  continue ;  
  45.             if  (p[i] == -1 && i != r)  return  1e9;  
  46.             if  (p[i] >= 0) w1 += d[i];  
  47.   
  48.             // 找水母環   
  49.             int  s;  
  50.             for  (s = i; s != -1 && v[s] == -1; s = p[s])  
  51.                 v[s] = i;  
  52.   
  53.             // 標記水母環上的點，以及將會被收縮掉的點。   
  54.             if  (s != -1 && v[s] == i)  
  55.             {  
  56.                 jf = true ;  
  57.                 int  j = s;  
  58.                 do   
  59.                 {  
  60.                     n[j] = s; m[j] = 1;  
  61.                     w2 += d[j]; j = p[j];  
  62.   
  63.                 } while  (j != s);  
  64.                 m[s] = 0;  
  65.             }  
  66.         }  
  67.         if  (!jf)  break ;  
  68.   
  69.         /* O(E) edge reweighting and cycle contraction  
  70.              ___  
  71.             /   / <-  
  72.             /___/  
  73.         */   
  74.         for  ( int  i=0; i<E; ++i)  
  75.         {  
  76.             int  &a = Ed[i].a, &b = Ed[i].b, &c = Ed[i].c;  
  77.             if  (n[b] >= 0) c -= d[b];  
  78.             if  (n[a] >= 0) a = n[a];  
  79.             if  (n[b] >= 0) b = n[b];  
  80.             if  (a == b) Ed[i--] = Ed[--E];  
  81.         }  
  82.     }  
  83.     return  w1 + w2;  
  84. }  

UVa 11183

 

注:http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/SpanningTree.html

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