这是一篇发表在 betterexplained 上的文章。它经过类比、图解的方式简明地介绍了虚数的意义。
做者：Kalid
原文：A Visual, Intuitive Gudie to Imaginary Numbers
译者：文之html
装载： http://www.cnblogs.com/andywenzhi/p/5723807.htmlmarkdown
虚数老是让我困扰，就像在指数 e 的理解上，大多数解释均可以划分为这两类之中的一种：app
- 它是一个数学的抽象，解决了一些等式。去好好地处理好它吧~
- 相信咱们，它用于高级物理。等到大学你就能够学到了。
哈，这真是一个鼓励孩子去学习数学的一个“极佳”方式！今天，咱们用一些咱们最爱的工具来解决这个问题：ide
- 把焦点放在「关系」上，而不是数学公式；
- 将复数视为对现有数字系统的一次升级，就像曾经的 0，小数以及负数升级了当时的数字系统那样；
- 经过视觉图表而不是文原本理解概念。
以及咱们的秘密武器：经过类比。咱们将会经过观察它的来源、负数来了解虚数。下面即是你的指南：工具
| 有趣的事实 | 负数 (-x) | 复数(a+bi) |
|---|---|---|
| 被发明来用来解答 | “3-4 等于多少？” | “sqrt(-1) 是多少？” |
| 好奇怪..由于.. | 你怎么会比空无一物还少呢？ | 都空无一物了，还能求平方根吗？ |
| 直觉上的意义 | “相反” | “旋转” |
| 被视为是荒谬的，直到.. | 1700s | 今天 ☺ |
| 累乘循环 [&通常模式] |
1, -1, 1, -1... X, -X, X, -X... |
1, i, 1, -i... X, Y, -X, -Y... |
| 在坐标上的应用 | 从起始开始向后移动 | 从起始开始旋转 |
| 测量它的大小 | 绝对值： |
勾股定理： |
sqrt(n) 指求 n 的平方根post
如今你可能还看不懂上面的指南，可是先放在这儿。最终咱们会搞定虚数 i，而后将它存放在你深深的脑海里~学习
真正地了解负数
负数并不简单。想像你是一位 18 世纪的欧洲数学家，你能写出 4 - 3 = 1，这很简单。ui
可是，若是是3 - 4呢？什么？这到底意味着什么呢？怎么能从 3 头奶牛中牵走 4 头呢？怎么可能比什么都没有还少呢？翻译
负数曾被看做是荒谬的东西，是一种“使得等式的整个学说都变得灰暗”的东西(Francis Maseres, 1759)。然而在今天，把负数当作是没有逻辑或者没有用才是荒谬的。去问问你的老师，问他们负数是否改变了数学的整个根基。3d
这是发生了什么呢？是咱们发明了一种很是有用的理论数字。咱们不能触摸或者拿到负数，可是在描述某些关系时用负数很是方便（好比债务）。它是一个很是有用的设想。
相比于“我欠你 30”这种须要经过阅读词语来判断是负债与否，我能够写“-30”，这意味着我在负债。若是我挣到钱了，还清了债务(-30+1000=70)，我能够轻易地就记录下这笔交易。我有 +70 的富余，这意味着个人债务还清了。
正数和负数的符号自动地追随了交易的流动方向——你再也不须要一个句子去描述每一笔交易对债务带来的变化。数学变得更加简单、更加优雅。负数可不可感知、是否是真实存在再也不重要——由于它们拥有有用的属性，咱们使用了它直到它成为了平常生活的每个部分。在今天，若是有人“没法接受”负数，你能够说他们真的是骇人听闻。
可是仍是不要对这种艰难的转变沾沾自喜：负数曾经是一个很是巨大的思想转变。即便如欧拉，这位发现了指数 e 等更多发现的天才，也没法像咱们今天这样去理解负数。当时负数被看成是“无心义的”结果（后来他弥补了这一点，使人敬佩）。
这也证实了咱们的思想潜能，即今天的孩子们指望去理解那些曾经困惑了古代数学家的问题。
进入虚数
虚数有一个简单的故事。咱们能够成天去解决这样的等式：
它的答案是 3 和 -3。可是若是有一个聪明的人给它添加了一个小小的符号：
阿欧~这个问题让大多数人在看到它第一眼的时候就感受到了尴尬。你想要对一个小于 0 的数字求平方根？荒谬！（历史上这个确实是要解决的问题，但我喜欢把它设想成一个聪明的人提出来的）
这个问题看起来好像很愚蠢，就好像负数、0、无理数（不循环的数）刚开始被提出来时必定也会被认为如此愚蠢。这个问题没有“实际”的意义，对吗？
错！所谓的“虚构的数字”与其余数字同样正常：它们都是描述这个世界的工具。就像假设 -1, .3 及 0 “存在”同样，让咱们假设有一个数字 i 存在：
就像这样，你把 i 乘以 i 能够获得 -1。那如今发生了什么？
固然，首先咱们会感到头痛...可是“假设 i 存在”的游戏事实上让数学变得更加简单和优雅。一种咱们能够更加方便地描述的新的关系就此浮现。
你也许不相信 i，就像那些执拗的老数学家们同样不相信 -1 的存在。新的、绕脑的概念都很难，不能马上理解，即便像欧拉这样的天才都不行。可是负数告诉咱们，陌生的概念依然能够颇有用。
我不喜欢“虚数”这个词语——它被看做是一种侮辱，伤害了 i 的感情。数字 i 就跟其余同样数字同样正常，可是“虚数”这个名字是摆脱不了了，咱们还将会用它。
图解负数和复数
正如上次咱们看到的那样，等式 x^2=9 意味着：
或者：
x 是什么转换数，累乘两次，就能把 1 变成 9？
答案有两个：“x = 3”和 “x = -3”：也就是说，经过将其扩大 3 倍后再扩大 3 倍来实现。
如今让咱们考虑 x^2=-1，也就是
x 是什么转换数，累乘两次，就能把 1 变成 -1？
- 咱们不能乘以一个正数乘两次，由于结果仍是正数；
- 咱们不能乘以一个负数乘两次，由于结果在第二次乘以后会跳回至正数。
然而若是是...旋转呢！这听起来很疯狂，可是若是咱们想像把 x “旋转 90 度”，乘以两次 x 的话，即为旋转 180 度，1 就会变成 -1。
呀！若是咱们在想一想，会发现将其在其余方向（顺时针）旋转两次也能将 1 转换为 -1。这是一个“负”旋转或者说乘以 -i：
若是咱们乘以 -i 两次，第一次乘法会将 1 转换成 -i，第二次将 -i 转换成 -1。因此这里实际上有两个 -1 的平方根：i 和 -i。
这很是酷！咱们有了某种形式的答案，可是它们意味着什么呢？
- i 是一个“新设想出来的维度”用来衡量数字；
- i (or -i) 是数字在旋转中“造成的”；
- 乘以 i 就是逆时针旋转 90 度；
- 乘以 -i 就是顺时针旋转 90 度；
- 两种旋转在各自的方向上都是 -1：它把咱们带回了正数与负数所在的“常规”维度。
数字成二维了。这是思惟的拓展，就像小数或者长除法对一个古罗马人是思惟拓展同样。（你认为 1 和 2 之间的数字有什么意义？）。这是一个新奇的看待数学的方式。
咱们问“咱们如何用两步实现 1 转换成 -1？”而后发现了答案：将其旋转 90 度。这是一个新奇的看待数学的方式。但很是有用。（顺带提一下，直到 i 被发现后的数十年才有了这个关于复数的几何解释）。
同时也要记住逆时针旋转变成正数是一我的类的发明——有可能还存在其它更为简单的方式。
找到模式
让咱们深刻到一点小细节中。当乘以一个负数时（就像 -1），你会获得一个模式：
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
-1 并无改变数字的大小，只改变了符号，来来回回。而对于一些数字"x"，你能够获得：
- x, -x, x, -x, x, -x...
这个概念很是有用。数字"x"能够表明一个愉快或者糟糕的一周。假设每周被分为愉快的和糟糕的，如今是愉快的一周，那么在 47 周的时候是愉快的一周仍是糟糕的一周呢？
因此 -x 意味着是糟糕的一周。注意负数是如何“保持与符号的联系”的——咱们能够把 (-1)^47 放到计算器里面而不用去算（“第一周愉快，第二周糟糕，第三周愉快...）。这种能够来来回回的东西能够很好地应用负数这个模型。
那好，如今若是咱们持续乘以 i 会怎么样？
这很是有趣。让咱们简化一点：
- 1 = 1（这里无需简化）
- i = i （这里无需简化）
- i ^ 2 = -1 (这就是 i 的所有)
- i ^ 3 = (i · i) · i = -1 · i = -i （3 次逆时针旋转等于 1 次顺时针旋转，很是好）
- i ^ 4 = (i · ) · (i · i) = -1 · -1 = 1 (4 次旋转带来了一个“整圆”)
- i ^ 5 = i ^ 4 · i = 1 · i = i （这里开始重复...)
从视觉上来看：
每次循环，咱们旋转 4 次。这就有意义了，对不对？任何一个小孩子都能告诉你旋转 4 次至关于没动。如今让咱们将精力放在虚数(i, i^2)上，观察这个通常的模式：
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y...
就像负数模型那样来回翻转，虚数能够做为 "X" 和 "Y" 这两个维度之间的任何东西的旋转模型，或者是，任何只要有循环、环状关系的东西——有什么想法了吗？
Cos it’d be a sin if you didn’t. There’ll de Moivre be more in future articles.
[译者注：做者在这里使用了双关，翻译成中文就失去了意义，此句不包含关键信息]
理解复数
这里还有一个细节要说：一个数字能既能够有“实部”又有“虚部”吗？
固然有。谁说旋转必需要旋转整个 90 度？若是咱们在“实部”的维度和“虚部”的维度上各走一步，看来就是这样：
如今咱们处于 45 度，在真实的部分和虚构的部分拥有相等的部分(1+i)。这就好像一个热狗同时有芥末酱和番茄酱——谁说你必需要选择了？
事实上，咱们能够选择任意的实部和虚部的数字来组成一个三角形。这个角度就成为了“旋转的角度”。复数是一个有趣的名字，就是说一个数字有实部和虚部两个部分。它们被写做 a + bi，其中：
- a 是实部
- b 是虚部
这样还不错。可是有一个最后的问题：这个复数有多大呢？咱们不能分开地计算实部和虚部的大小，这样就没有意义了。
让咱们退回一点。一个负数的大小你也不能数出来——它是距离 0 的长度，在负数中：
这是另外一种求绝对值的方式。但对于复数来讲，当两个部分红 90 度时咱们该如何去测量它的大小呢？
它是一只鸟，是一架飞机，它是毕达哥拉斯！
他的定理[译者注：勾股定理]出如今任何地方，甚至在他以后的 2000 年才发明了数字。咱们制造了一种三角形，它的斜边就是距离 0 的长度：
很是棒！尽管测量它的大小不像“丢弃掉负数的符号”那么简单，复数依然有它们的用处。让咱们看一下它的一个实例。
一个实例：旋转
咱们没必要等到大学物理才去使用虚数，让咱们今天就来使用它。关于复数的乘法有不少可说的，但把这个记在脑海里：
- 经过乘以一个复数来旋转它的角度
下面让咱们一探究竟。假设我有一条船，向东 3 个单位，向北 4 个单位的方向航行。我想将个人航行方向逆时针偏转 45 度，那么个人新方向是多少？
一些高手会说“这很简单！使用 sine，cosine...blabla...使用 tangent... blabla.. 以及...”。崩溃。抱歉，我打断了你的计算了吗？能够再从新关注一下那个问题吗？
让咱们用一个简单的方法：咱们如今航行在 3 + 4i（不用管什么角度，不须要关心），而后咱们想偏转 45 度。那好，45 度是 1 + i（完美的对角线）,这样我就能够乘以这个数量！
这里是思路：
- 初始的航行方向：向东 3 个单位，向北 4 个单位 = 3 + 4i；
- 逆时针旋转 45 度 = 乘以 1 + i；
若是咱们将它们相乘，能够获得：
因此新的航行方向是向西 1 个单位(即向东 -1 个单位)，向北 7 个单位，这样你就能画出来，并按照这个方向航行。
呀！咱们在没有使用 sine 或 cosine 的状况下找到这个结果只花费了 10 秒钟。也没有用到向量、矩阵或者追踪咱们所在的象限。它仅仅是一个使用了代数乘法的算术。旋转规则已经深深地嵌入了虚数中：这种规则是有效的。
更好的是，这个结果是有用的。咱们航行在(-1, 7)而不是一个角度（arctan(7/-1)=98.13，记住咱们在第二象限）。你计划画出或者跟随这个角度？在四周都用上量角器？
不行。你要把它转换为 cosine 和 sine (-.14 和 .99)，找到一个合理的比率（大约在 1 到 7 之间），而后描绘出这个三角形。而复数能够迅速、准确，且在没有计算器的状况下作这件事情。
若是你像我同样，你会发现这运用了思惟拓展。若是你没有...额...恐怕数学并不适合你。对不起...
三角学很伟大，可是复数可让丑陋的计算变得简单（好比计算 cosine(a+b))。这篇文章仅仅是个预览，后续的文章会给你全餐。
另外：一些人认为“Hey，用北/东指明航行方向来替代角度指明航行方向没有多大用处！”
不是吧？好吧。你看看你的右手。小手的中间到食指的尖端的角度是多少？本身算吧，祝你好运。
而用北/东航行法，你至少能够说：“横向距离 X 英寸，纵向距离 Y 英寸”，这样还有一些机会算出它的方向。
复数不“正常”
上面快速地过了一下我在复数上的基本观点。看看文章开头的第一个表格——如今应该能看懂了。
还有很是多美妙、好玩的数字，可是个人大脑已经很疲惫了。个人目的很简单：
- 让你相信复数虽然被视为“疯狂”，可是颇有用（就像曾经的负数那样）；
- 展现了复数可使某些问题变得简单，好比旋转。
若是我看起来对这个话题很是热心和关注，这里有个缘由：我对虚数念念不忘不少年——对它缺乏一种直观的看法，这让我很沮丧。
如今我终于有了这样的看法，我火烧眉毛地去分享它们。但若是你只是在一个狂热的人的博客上阅读了这篇文章，而不是在教室里，这会让我感到沮丧。咱们束缚本身的疑问，缓缓前行——是由于咱们没有去寻找、分享一些简洁、直观的看法。
但点亮一支蜡烛好过诅咒黑暗：这是个人想法，并且大家的其中之一也将会发出光亮。想一想看，正是咱们“解决”了像数字这样的问题才让咱们能一直停留在罗马数字的大陆上。
这里还有更多复数的内容：查看复数算术的细节。Happy math.
后记：可是他们仍然很陌生!
我知道，复数对我来讲，也依然很陌生。我试着把本身放到第一个发现 0 的人思惟中。
0 是如此怪异的观点，有“0 个东西”却表明“没有东西”，罗马人避开了这个数字。复数也极其类似——它是一种新的思惟方式。可是 0 和复数都让数学变得更加简单。若是咱们从不采纳陌生的、新的数字系统，咱们就只能靠手指数数了。
我重复了这个类比，是由于这样能够很轻易地去开始认为复数不“正常”。让咱们打开思惟：在将来，他们会为复数曾被不相信而轻声地笑：尽管都已经 21 世纪了。
若是你想得到更多重要的细节，访问wikipedia, the Dr. Math discussion, 或者其余关于虚数为何存在的争论。
什么是虚数首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。这根数轴的正向部分，能够绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。这至关于两次逆时针旋转90度。所以，咱们能够获得下面的关系式：(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)若是把+1消去，这个式子就变为：(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：i^2 = (-1)这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。因此，咱们能够知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。复数的定义既然 i 表示旋转量，咱们就能够用 i ，表示任何实数的旋转状态。将实数轴看做横轴，虚数轴看做纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然惟一对应这个平面中的某个点。只要肯定横坐标和纵坐标，好比( 1 , i )，就能够肯定某个实数的旋转量（45度）。数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标链接起来。好比，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫作复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。为何要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你缘由。虚数的做用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。好比，物理学须要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i，另外一个力是1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你立刻获得，合成力就是( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。虚数的做用：乘法若是涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。好比，一条船的航向是3 + 4i 。若是该船的航向，逆时针增长45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就能够了（缘由在下一节解释）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )因此，该船的新航向是-1 + 7i。若是航向逆时针增长90度，就更简单了。由于90度的航向就是 i ，因此新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。