闵可夫斯基和

闵可夫斯基和

Tags：高级算法

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1、概述

学习此内容需必定计算几何基础，出门右拐：http://www.javashuo.com/article/p-ruqcwyeu-ee.html
官方定义：两个图形\(A,B\)的闵可夫斯基和\(C=\{a+b|a\in A,b\in B\}\)
通俗一点：从原点向图形A内部的每个点作向量，将图形\(B\)沿每一个向量移动，全部的最终位置的并即是闵可夫斯基和（具备交换律）

因为博主太菜，本文只讨论凸包的闵可夫斯基和
以下图，粉色区域即是三角形和一个不规则四边形的闵可夫斯基和

2、怎么求

利用瞪眼法得，闵可夫斯基和的边是由两凸包构成的
也就是说把两凸包的边极角排序后直接顺次连起来就是闵可夫斯基和

因为凸包的优美性质，直接归并排序就行了
可是须要注意的是可能会有三点共线的状况，因而再扔过去从新求一次凸包就行了

3、应用举例

题目

[JSOI2018]战争
两个凸包\(A,B\)，移动\(B\)，问是否还有交点。\(n\le10^5,q\le10^5\)

正解

令\(a\in A,b\in B\)则移动向量\(w\)使得存在\(b+w=a\)
那么\(w\)须要知足\(w=a-b\)
构造闵可夫斯基和\(C=\{a+(-b)\}\)
在输入\(B\)的时候横纵坐标都取反便可
余下问题即是判断输入的移动向量是否在\(C\)内，计算几何有讲

样例靓照

原图

取反

闵可夫斯基和

用题目意思去理解闵可夫斯基和:
橙色的向量是\(B\)能够移动的范围的边界，也就是说在绿色框以内的向量都知足条件
这些向量拖到以原点为起点，就是上面的闵可夫斯基和的粉色区域

代码

我以为这题值这个黑色标签
不是很好转换，有点策不清

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
struct Node
{
    ll x,y;
    Node operator - (Node A) {return (Node){x-A.x,y-A.y};}
    Node operator + (Node A) {return (Node){x+A.x,y+A.y};}
    ll operator * (Node A) const {return x*A.y-y*A.x;}
    ll len() const {return x*x+y*y;}
}A[N],C1[N],C2[N],s1[N],s2[N],bs;
ll cmp1(const Node&A,const Node&B) {return A.y<B.y||(A.y==B.y&&A.x<B.x);}
ll cmp2(const Node&A,const Node&B) {return A*B>0||(A*B==0&&A.len()<B.len());}
ll n,m,sta[N],top,q,tot;
void Convex(Node *A,ll &n)
{
    sort(A+1,A+n+1,cmp1);
    bs=A[1];sta[top=1]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++) A[i]=A[i]-bs;
    sort(A+2,A+n+1,cmp2);
    for(ll i=2;i<=n;sta[++top]=i,i++)
        while(top>=2&&(A[i]-A[sta[top-1]])*(A[sta[top]]-A[sta[top-1]])>=0) top--;
    for(ll i=1;i<=top;i++) A[i]=A[sta[i]]+bs;
    n=top;A[n+1]=A[1];
}
void Minkowski()
{
    for(ll i=1;i<n;i++) s1[i]=C1[i+1]-C1[i];s1[n]=C1[1]-C1[n];
    for(ll i=1;i<m;i++) s2[i]=C2[i+1]-C2[i];s2[m]=C2[1]-C2[m];
    A[tot=1]=C1[1]+C2[1];
    ll p1=1,p2=1;
    while(p1<=n&&p2<=m) ++tot,A[tot]=A[tot-1]+(s1[p1]*s2[p2]>=0?s1[p1++]:s2[p2++]);
    while(p1<=n) ++tot,A[tot]=A[tot-1]+s1[p1++];
    while(p2<=m) ++tot,A[tot]=A[tot-1]+s2[p2++];
}
ll in(Node a)
{
    if(a*A[1]>0||A[tot]*a>0) return 0;
    ll ps=lower_bound(A+1,A+tot+1,a,cmp2)-A-1;
    return (a-A[ps])*(A[ps%tot+1]-A[ps])<=0;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&C1[i].x,&C1[i].y);
    Convex(C1,n);
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&C2[i].x,&C2[i].y);
        C2[i].x=-C2[i].x;C2[i].y=-C2[i].y;
    }
    Convex(C2,m);
    Minkowski();
    Convex(A,tot);
    bs=A[1];for(ll i=tot;i>=1;i--) A[i]=A[i]-A[1];
    while(q--)
    {
        scanf("%lld%lld",&A[0].x,&A[0].y);
        printf("%lld\n",in(A[0]-bs));
    }
    return 0;
}