简单易懂的树、堆讲解

树、堆

 

树：

一、一课树中的任意两个结点有仅有惟一的一条路径连通。
二、一棵树若是有n个结点，那么它必定刚好有n-1条边。
三、在一棵树中加一条边将会构造一个回路。

满二叉树：二叉树全部的叶结点都有一样的深度。
深度为：n，结点数：2**n - 1

 

彻底二叉树

若是一棵二叉树除了最右边位置上有一个或者几个叶结点缺乏外，其余是丰满的，那么这样的二叉树就彻底二叉树。严格的定义是：若设二叉树的高度为h，除h层外，其余各层（1~h-1）的结点数都达到最大个数，第n层从右向左连续缺若干个结点，则这个二叉树就是彻底二叉树。

 

 

经过上图咱们发现，若是彻底二叉树的一个父结点编号为k，那么它左儿子的编号就是2*k，右儿子的编号就是2*k+1。若是已知儿子（左儿子或右儿子）的编号是x，那么它父结点的编号就是x/2，注意这里只取商的整数部分。
若是一颗彻底二叉树有N个结点，那么这个彻底二叉树的高度为log2N，简写logN，即最多有logN层结点。彻底二叉树的最典型应用就是一个堆。

堆—神奇的优先队列

 

最大堆：全部父节点都比儿子结点要大；
最小堆：全部父节点都比儿子结点要小；

 

 
很显然最小的数就在堆顶，假设存储这个堆的数组叫作h的话，最小数就是h[1]。接下来，咱们将堆顶的数删除。将新增长的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性，咱们须要将新增长的数调整到合适的位置。那如何调整呢？

 

 
向下调整！咱们须要将这个数与它的两个儿子2和5比较，选择较小的一个与它交换，交换以后以下。

 

咱们发展此时仍是不符合最小堆的特性，所以还须要继续向下调整。因而继续将23与它的两个儿子12和7比较，选择较小一个交换，交换以后以下。

 

至此，仍是不符合最小堆的特性，仍须要继续向下调整，直到符合最小堆的特性为止。

 

如今咱们发现已经符合最小堆的特性了。综上所述，当新增长一个数被放置到堆顶时，若是此时不符合最小堆的特性，则须要将这个数向下调整，直到找到合适的位置为止，使其从新符合最小堆的特性。

 

 
时间复杂度：logN

新增一个数：

新增一个数，只须要将新元素插入到末尾，再根据状况判断新元素是否须要上移，直到知足堆的特性为止。若是堆的大小为 N（即有 N个元素），那么插入一个新元素所须要的时间为 O(logN)。例如咱们如今要新增一个数 3。

 

 

构造一个最小堆

 

 
固然目前这个棵树仍然不符合最小堆的特性，咱们须要继续调整以3号结点为根的子树，即将3号结点向下调整。

 

同理，继续调整以2号结点为根的子树，最后调整以1号结点为根的子树。调整完毕以后，整棵树就符合最小堆的特性了。

 

像这样支持插入元素和寻找最大 （小）值元素的数据结构称为优先队列。若是使用普通队列来实现这两个功能，那么寻找最大元素须要枚举整个队列，这样的时间复杂度比较高。若是是已排序好的数据，那么插入一个元素则须要移动不少元素，时间复杂度度依旧很高。而堆就是一种优先队列的实现，能够很好地解决这两种操做。

另外Dijkstr算法中每次找离源点最近的一个顶点也能够用堆来优化，使算法的时间复杂度降到O((M+N)logN)。堆还常常被用来求一个数列中第K大的数，只须要创建一个大小为K的最小堆，堆顶就是第K大的数。

　　注：内容来源于《啊哈.算法》