BZOJ4197: [Noi2015]寿司晚宴-状压DP

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题意：

n-1个数，分别为2~n，现从中取出若干数放入两个集合中，使A集合中全部数都和B集合中的全部数互质，求知足条件的方案数。

$n≤500$

Solution:

根据题意，在一个集合中选择一个数至关于选择了这个数的质因子集合，因此说两个集合的质因子集合的交集必须为空。

一个很简单的想法就是状压DP

$f[i][S][T]$表示第一个集合的质因子集合为S，第二个集合的质因子集合为T，知足上述条件只考虑前i个数的方案数，转移即为

$f[i+1][S|S_{i}][T]+=f[i][S][T],S_i\cap T=0$

$f[i+1][S][T|S_i]+=f[i][S][T],S_i \cap S =0$

$S_i$表示第i个数的质因子集合

可是n是500，500之内的质数显然咱们是状压不下的

这时候咱们就须要发掘题目性质了：

咱们能够发现，对于任意一个数，他大于$\sqrt {500}$的质因子只会有一个

小于$\sqrt {500}$的最大的质数是19，因此咱们只须要对2,3,5,7,11,13,17,19这八个质数状压，把每一个数大于大于$\sqrt {500}$的质因子处理出来，对其进行排序，每次单独处理大于$\sqrt {500}$的质因子相同的一段区间便可

具体dp状态为：$dp[i][S][T][0/1]$表示第一个集合的质因子集合为S，第二个集合的质因子集合为T，大于$\sqrt {500}$的质因子放入A集合/B集合，只考虑前i个数的方案数

初值是$dp[0][S][T][0]=dp[0][S][T][1]=f[pre][S][T]$，pre表示的是处理这个质因子以前咱们所获得的的方案数

转移即为

$dp[i+1][S|S_{i}][T][0]+=dp[i][S][T][0],S_i\cap T=0$

$dp[i+1][S][T|S_i][1]+=dp[i][S][T][1],S_i \cap S =0$

最后再把用dp数组更新f数组便可，注意这里须要去个重：

$f[now][S][T]=dp[len][S][T][0]+dp[len][S][T][1]-f[pre][S][T]$

由于1和0的状态都会统计这个质因子两个都不放的状况

而后发现空间捉急，咱们能够用相似01背包的方法优化掉i这一位

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,mod,prim[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
int f[1<<8][1<<8];
int dp[2][1<<8][1<<8],num;
struct Q{
    int S,rem;
}a[510];
bool cmp(Q a,Q b){return a.rem<b.rem;}
void get(int x)
{
    num++;
    for (int i=0;i<8;i++)
        while (x%prim[i]==0) x/=prim[i],a[num].S|=(1<<i);
    a[num].rem=x;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    for (int i=2;i<=n;i++) get(i);
    sort(a+1,a+1+num,cmp);
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=num;i++)
    {
        if (a[i].rem==1||a[i].rem!=a[i-1].rem)
        {
            for (int S=0;S<(1<<8);S++)
                for (int T=0;T<(1<<8);T++)
                    dp[0][S][T]=dp[1][S][T]=f[S][T];
        }
        for (int S=(1<<8)-1;S>=0;S--)
            for (int T=(1<<8)-1;T>=0;T--)
            {
                if ((a[i].S&S)==0) dp[1][S][T|a[i].S]=(dp[1][S][T|a[i].S]+dp[1][S][T])%mod;
                if ((a[i].S&T)==0) dp[0][S|a[i].S][T]=(dp[0][S|a[i].S][T]+dp[0][S][T])%mod;
            }
        if (a[i].rem==1||a[i].rem!=a[i+1].rem)
        {
            for (int S=0;S<(1<<8);S++)
                for (int T=0;T<(1<<8);T++)
                    f[S][T]=(1ll*dp[0][S][T]+dp[1][S][T]-f[S][T]+mod)%mod;
        }
    }
    int ans=0;
    for (int S=0;S<(1<<8);S++)
        for (int T=0;T<(1<<8);T++) ans=(f[S][T]+ans)%mod;
    printf("%d",ans);
}