平衡二叉树(AVL)

Part One ： 

这个恐怕是整个《数据结构》教科书里面最难的和最“没用”的数据结构了（如今的教科书还有部分算法内容）。说它没用，偏偏是由于它太有用——有着和普通的二叉搜索树彻底同样的接口界面，绝大多数状况下比普通的二叉搜索树效率高（不少）。所以，一般状况下，人们都是一劳永逸的——写完后就重用，而不会再写了。因此说，你虽然学完了平衡二叉树，但极可能你永远也不会亲自写一个。你如今随便在身边拉我的，让他来写一个，能顺利的写出来的恐怕很少，玩笑之词，且勿当真。

在开始写以前，我很担忧，能不能把这部分写清楚，毕竟书上满天的switch…case，而且还只是一半——有左旋没有右旋，有插入没有删除。后来，我变得有信心了——由于书上都没有说清楚，都在那里说梦话。我没有找到AVL树的发明者的原著（G. M. Adelson-Velskii and Y. M. Landis. An algorithm for the organization of information. Soviet Math. Dokl., 3:1259--1262, 1962.）也不知道我下面所写的是否是体现了发明者的本意，但至少，我认为如今的教科书歪曲了发明者的本意。

基本概念

Ø       平衡

    下面的引文出自Algorithms and Data Structures （Niklaus Wirth, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986 ISBN: 0-13-022005-1 pp. 215 – 226）

One such definition of balance has been postulated by Adelson-Velskii and Landis [4-1]. The balance criterion is the following:

 

A tree is balanced if and only if for every node the heights of its two subtrees differ by at most 1.

 

Trees satisfying this condition are often called AVL-trees (after their inventors). We shall simply call them balanced trees because this balance criterion appears a most suitable one. (Note that all perfectly balanced trees are also AVL-balanced.)

 

The definition is not only simple, but it also leads to a manageable rebalancing procedure and an average search path length practically identical to that of tbe perfectly balanced tree.

科技文都比较好懂，本人翻译水平比较差，就不献丑了，我只想让你们注意最后一段的画线部分，平衡化应该是易于操做的，而毫不是如今你在书上看到的铺天盖地的switch…case。

Ø       旋转

    平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点（其中一个多是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right必定不为空，右旋的时候p->left必定不为空，这是显而易见的。

p				p
p		左旋		t
	t		(p)
（NULL）				（NULL）

    能够看到，左旋确实是在向“左”旋转，仍是很形象的。右旋是左旋的镜像，就再也不另行说明了。下表是左旋和右旋各个节点的指针变换状况。（括号表示NULL的状况不执行）

左旋	右旋
t->parent = p->parent	p->parent = t	t->parent = p->parent	p->parent = t
(t->left->parent = p)	p->right = t->left	(t->right->parent = p)	p->left = t->right
t->left = p	p = t	t->right = p	p = t

Ø       平衡因子（bf——balance factor）

    AVL树的平衡化靠旋转，而是否须要平衡化，取决于树中是否出现了不平衡。为了不每次判断平衡时，都求一下左右子树的高度，引入了平衡因子。极可能是1962年的时候AV&L没有亲自给出定义，时下里平衡因子的定义乱七八糟——我看了4本书，两本是bf ＝ 左高－右高，两本是bf ＝ 右高－左高。最有意思的是两本中国人（严蔚敏和殷人昆）写的一本左减右，一本右减左；两本外国人写的也是这样。虽然没什么原则上的差异，可苦了中国的莘莘学子们——考试的时候可无论你是哪一个门派的。我照顾本身的习惯，下面的bf = 左高－右高，习惯不一样的请本身注意。

这样一来，是否须要平衡化的条件就很明了了——| bf | > 1。若是从空树开始创建，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操做上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。

插入和删除

    在AVL树插入和删除，实际上就是先按照普通二叉搜索树插入和删除，而后再平衡化。能够确定的说，插入和删除须要的最多平衡化次数不一样（下面会给出根本缘由），但这不代表插入和删除时的平衡化的思路有很大差异。现有的教科书，仅仅从表面上看到了到了平衡化操做次数不一样的假象，而没有从根本上认识到插入和删除对称的本质，搞得乱七八糟不说（铺天盖地的switch…case），还严重的误导了读者——觉得删除操做复杂的不可捉摸。

AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操做，没理由会有那么大的差异。实际上，平衡化能够统一的这样来操做：

1．    while (current != NULL)修改current的平衡因子。

Ø         插入节点时current->bf += (current->data > *p)?1:-1;

Ø         删除节点时current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;

Ø         current指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操做带来的结果。*p初始值是插入节点或者实际删除节点的data。由于删除操做可能实际删除的不是data。

2．    判断是否须要平衡化

if (current->bf == -2) L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

3．    是否要继续向上修改父节点的平衡因子

Ø         插入节点时if (!current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和插入前的高度相同。

Ø         删除节点时if (current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和删除前的高度相同

Ø         之因此删除操做须要的平衡化次数多，就是由于平衡化不会增长子树的高度，可是可能会减小子树的高度，在有有可能使树增高的插入操做中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操做中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。

4．    当前节点移动到父节点，转1

p = &(current->data); current = current->parent;

完整的插入删除函数以下：

bool insert(const T &data)

{

       if (!BSTree<T>::insert(data)) return false; const T* p = &data;

       while (current)

       {

              current->bf += (current->data > *p)?1:-1;

              if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);

              else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

              if (!current->bf) break;

              p = &(current->data); current = current->parent;

       }

       return true;

}

bool remove(const T &data)

{

       if (!BSTree<T>::remove(data)) return false; const T* p = &r_r_data;

//在class BSTree里添加proteceted: T r_r_data，在BSTree<T>::remove(const T &data)里修改成实际删除的节点的data

       while (current)

       {

              current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;

              if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);

              else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

              if (current->bf) break;

              p = &(current->data); current = current->parent;

       }

       return true;

}

你能够看到，他们是多么的对称。

Part Two：

平衡二叉树 (Balanced binary tree) 是由阿德尔森 - 维尔斯和兰迪斯 (Adelson-Velskii and Landis) 于 1962 年首先提出的，因此又称为 AVL 树。

定义：平衡二叉树或为空树,或为以下性质的二叉排序树:

  （1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;

  （2）左右子树仍然为平衡二叉树.

      平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.

平衡二叉树每一个结点的平衡因子只能是1，0，-1。若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图：

2、平衡二叉树算法思想

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。而后再调整这个子树中有关结点之间的连接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其余全部不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

        失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点做为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操做可概括为下列四种状况。

 （1）LL型平衡旋转法

因为在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操做。即将A的左孩子B向右上旋转代替A做为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。

（2）RR型平衡旋转法

因为在A的右孩子C的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操做。即将A的右孩子C向左上旋转代替A做为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。

（3）LR型平衡旋转法

因为在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操做（先逆时针，后顺时针）。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提高到B结点的位置，而后再把该D结点向右上旋转提高到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。

      如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，而后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。

（4）RL型平衡旋转法 

因为在A的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操做（先顺时针，后逆时针），即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提高到C结点的位置，而后再把该D结点向左上旋转提高到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。

 如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，而后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型，再按RR型处理成平衡型。

平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点（其中一个多是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right必定不为空，右旋的时候p->left必定不为空，这是显而易见的。

若是从空树开始创建，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操做上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。