损失函数/代价函数 目标函数

参考   机器学习中的目标函数、损失函数、代价函数有什么区别？

如何找出幸福感最强的人？什么人幸福感最强，是既有钱（拟合较好，不是最有钱）又活得轻松（模型复杂度低，简简单单生活）的中层阶级。

 首先给出结论：损失函数和代价函数是同一个东西，目标函数是一个与他们相关但更广的概念，对于目标函数来讲在有约束条件下的最小化就是损失函数（loss function）。

举个例子解释一下:（图片来自 Andrew Ng Machine Learning 公开课视频）

 

上面三个图的函数依次为 , , 。咱们是想用这三个函数分别来拟合 Price，Price 的真实值记为 。

咱们给定 ，这三个函数都会输出一个 , 这个输出的 与真实值 多是相同的，也多是不一样的，为了表示咱们拟合的好坏，咱们就用一个函数来度量拟合的程度，好比：

，这个函数就称为损失函数 (loss function)，或者叫代价函数 (cost function)。损失函数越小，就表明模型拟合的越好。

那是否是咱们的目标就只是让 loss function 越小越好呢？还不是。

这个时候还有一个概念叫风险函数 (risk function)。风险函数是损失函数的指望，这是因为咱们输入输出的 遵循一个联合分布，可是这个联合分布是未知的，因此没法计算。可是咱们是有历史数据的，就是咱们的训练集， 关于训练集的平均损失称做经验风险 (empirical risk)，即 ，因此咱们的目标就是最小化 ，称为经验风险最小化。

到这里完了吗？尚未。

若是到这一步就完了的话，那咱们看上面的图，那确定是最右面的 的经验风险函数最小了，由于它对历史的数据拟合的最好嘛。可是咱们从图上来看 确定不是最好的，由于它过分学习历史数据，致使它在真正预测时效果会很很差，这种状况称为过拟合 (over-fitting)。

为何会形成这种结果？大白话说就是它的函数太复杂了，都有四次方了，这就引出了下面的概念，咱们不只要让经验风险最小化，还要让结构风险最小化。这个时候就定义了一个函数 ，这个函数专门用来度量模型的复杂度，在机器学习中也叫正则化 (regularization)。经常使用的有 , 范数。

到这一步咱们就能够说咱们最终的优化函数是： ，即最优化经验风险和结构风险，而这个函数就被称为目标函数。

说白了，经验风险就是拟合的好很差，结构风险就是模型复杂不复杂

结合上面的例子来分析：最左面的 结构风险最小（模型结构最简单），可是经验风险最大（对历史数据拟合的最差）；最右面的 经验风险最小（对历史数据拟合的最好），可是结构风险最大（模型结构最复杂）; 而 达到了两者的良好平衡，最适合用来预测未知数据集。