Bloom Filter概念和原理【ZZ】

Bloom Filter概念和原理

【转自http://blog.csdn.net/jiaomeng/】焦萌 2007年1月27日

 

Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有必定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。所以，Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter经过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面咱们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。

 

为了表达S={x₁, x₂,…,x_n}这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每一个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置h_i(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，若是一个位置屡次被置为1，那么只有第一次会起做用，后面几回将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。   

 

 

在判断y是否属于这个集合时，咱们对y应用k次哈希函数，若是全部h_i(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么咱们就认为y是集合中的元素，不然就认为y不是集合中的元素。下图中y₁就不是集合中的元素。y₂或者属于这个集合，或者恰好是一个false positive。

 

错误率估计

前面咱们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有必定的错误率（false positive rate），下面咱们就来估计错误率的大小。在估计以前为了简化模型，咱们假设kn<m且各个哈希函数是彻底随机的。当集合S={x₁, x₂,…,x_n}的全部元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位仍是0的几率是：

 

其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的几率（前提是哈希函数是彻底随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的几率。要把S彻底映射到位数组中，须要作kn次哈希。某一位仍是0意味着kn次哈希都没有选中它，所以这个几率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e^-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时经常使用的近似：

 

 

令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学指望E(ρ)= p’。在ρ已知的状况下，要求的错误率（false positive rate）为：

 

(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)^k就表示k次哈希都恰好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，如今来看第一步近似。p’只是ρ的数学指望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学指望值。M. Mitzenmacher已经证实^[2] ，位数组中0的比例很是集中地分布在它的数学指望值的附近。所以，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

   

   

 

 

相比p’和f’，使用p和f一般在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：若是哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时获得0的几率就大；但另外一方面，若是哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了获得最优的哈希函数个数，咱们须要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

 

先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e^−kn/m))，咱们令g = k ln(1 − e^−kn/m)，只要让g取到最小，f天然也取到最小。因为p = e^-kn/m，咱们能够将g写成

 

根据对称性法则能够很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种状况下，最小错误率f等于(1/2)^k ≈ (0.6185)^m/n。另外，注意到p是位数组中某一位还是0的几率，因此p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

 

须要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。一样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)^kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)^kn)，p’ = (1 − 1/m)^kn，咱们能够将g’写成

 

一样根据对称性法则能够获得当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

下面咱们来看看，在不超过必定错误率的状况下，Bloom Filter至少须要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，容许的最大错误率为є，下面咱们来求位数组的位数m。

 

假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s = F(X)中查询x都能获得确定的结果，即s可以接受x。显然，因为Bloom Filter引入了错误，s可以接受的不只仅是X中的元素，它还可以є (u - n)个false positive。所以，对于一个肯定的位数组来讲，它可以接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，因此一个肯定的位数组能够表示

 

个集合。m位的位数组共有2^m个不一样的组合，进而能够推出，m位的位数组能够表示

   

 

个集合。全集中n个元素的集合总共有

   

 

个，所以要让m位的位数组可以表示全部n个元素的集合，必须有

   

 

即：

   

 

上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际状况中经常发生的。根据上式，咱们得出结论：在错误率不大于є的状况下，m至少要等于n log₂(1/є)才能表示任意n个元素的集合。

 

 

 

上一小节中咱们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)^k = (1/2)^{mln2 / n}。如今令f≤є，能够推出

 

这个结果比前面咱们算得的下界n log₂(1/є)大了log₂ e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少须要取到最小值的1.44倍。

总结

在计算机科学中，咱们经常会碰到时间换空间或者空间换时间的状况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另外一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素以外又引入了另外一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有必定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增长了错误率这个因素以后，Bloom Filter经过容许少许的错误来节省大量的存储空间。

 

自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter以后，Bloom Filter就被普遍用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域得到了新生，各类Bloom Filter变种和新的应用不断出现。能够预见，随着网络应用的不断深刻，新的变种和应用将会继续出现，Bloom Filter必将得到更大的发展。

参考资料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.

[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.

[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf

[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt