K-Means聚类算法

聚类分析是在数据中发现数据对象之间的关系，将数据进行分组，组内的类似性越大，组间的差异越大，则聚类效果越好。

不一样的簇类型

聚类旨在发现有用的对象簇，在现实中咱们用到不少的簇的类型，使用不一样的簇类型划分数据的结果是不一样的，以下的几种簇类型。

明显分离的

能够看到(a)中不一样组中任意两点之间的距离都大于组内任意两点之间的距离，明显分离的簇不必定是球形的，能够具备任意的形状。

基于原型的

簇是对象的集合，其中每一个对象到定义该簇的原型的距离比其余簇的原型距离更近，如(b)所示的原型即为中心点，在一个簇中的数据到其中心点比到另外一个簇的中心点更近。这是一种常见的基于中心的簇，最经常使用的K-Means就是这样的一种簇类型。 
这样的簇趋向于球形。

基于密度的

簇是对象的密度区域，(d)所示的是基于密度的簇，当簇不规则或相互盘绕，而且有早上和离群点事，经常使用基于密度的簇定义。

关于更多的簇介绍参考《数据挖掘导论》。

基本的聚类分析算法

1. K均值： 
基于原型的、划分的距离技术，它试图发现用户指定个数(K)的簇。

2. 凝聚的层次距离： 
思想是开始时，每一个点都做为一个单点簇，而后，重复的合并两个最靠近的簇，直到尝试单个、包含全部点的簇。

3. DBSCAN: 
一种基于密度的划分距离的算法，簇的个数有算法自动的肯定，低密度中的点被视为噪声而忽略，所以其不产生彻底聚类。

距离量度

不一样的距离量度会对距离的结果产生影响，常见的距离量度以下所示：

K-Means算法

下面介绍K均值算法：

优势：易于实现 
缺点：可能收敛于局部最小值，在大规模数据收敛慢

算法思想较为简单以下所示：

选择K个点做为初始质心  
repeat 将每一个点指派到最近的质心，造成K个簇 从新计算每一个簇的质心 until 簇不发生变化或达到最大迭代次数 

这里的从新计算每一个簇的质心，如何计算的是根据目标函数得来的，所以在开始时咱们要考虑距离度量和目标函数。

考虑欧几里得距离的数据，使用偏差平方和（Sum of the Squared Error,SSE）做为聚类的目标函数，两次运行K均值产生的两个不一样的簇集，咱们更喜欢SSE最小的那个。

k表示k个聚类中心，ci表示第几个中心，dist表示的是欧几里得距离。 
这里有一个问题就是为何，咱们更新质心是让全部的点的平均值，这里就是SSE所决定的。

下面用Python进行实现

# dataSet样本点,k 簇的个数 # disMeas距离量度，默认为欧几里得距离 # createCent,初始点的选取 def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent): m = shape(dataSet)[0] #样本数 clusterAssment = mat(zeros((m,2))) #m*2的矩阵 centroids = createCent(dataSet, k) #初始化k个中心 clusterChanged = True while clusterChanged: #当聚类再也不变化 clusterChanged = False for i in range(m): minDist = inf; minIndex = -1 for j in range(k): #找到最近的质心 distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:]) if distJI < minDist: minDist = distJI; minIndex = j if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True # 第1列为所属质心，第2列为距离 clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2 print centroids # 更改质心位置 for cent in range(k): ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]] centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) return centroids, clusterAssment

重点理解一下：

for cent in range(k): ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]] centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) 

循环每个质心，找到属于当前质心的全部点，而后根据这些点去更新当前的质心。 
nonzero()返回的是一个二维的数组，其表示非0的元素位置。

>>> from numpy import *
>>> a=array([[1,0,0],[0,1,2],[2,0,0]]) >>> a array([[1, 0, 0], [0, 1, 2], [2, 0, 0]]) >>> nonzero(a) (array([0, 1, 1, 2]), array([0, 1, 2, 0]))

表示第[0,0],[1,1] … 位非零元素。第一个数组为行，第二个数组为列，二者进行组合获得的。

ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]] 
所以首先先比较clusterAssment[:,0].A==cent的真假，若是为真则记录了他所在的行，所以在用切片进行取值。

一些辅助的函数：

def loadDataSet(fileName): #general function to parse tab -delimited floats dataMat = [] #assume last column is target value fr = open(fileName) for line in fr.readlines(): curLine = line.strip().split('\t') fltLine = map(float,curLine) #map all elements to float() dataMat.append(fltLine) return dataMat def distEclud(vecA, vecB): return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) #la.norm(vecA-vecB) def randCent(dataSet, k): n = shape(dataSet)[1] centroids = mat(zeros((k,n)))#create centroid mat for j in range(n):#create random cluster centers, within bounds of each dimension minJ = min(dataSet[:,j]) rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ) centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1)) return centroids

运行和结果

将上述代码写到kMeans.py中，而后打开python交互端。

>>> from numpy import *
>>> import kMeans
>>> dat=mat(kMeans.loadDataSet('testSet.txt')) #读入数据 >>> center，clust=kMeans.kMeans(dat,4) [[ 0.90796996 5.05836784] [-2.88425582 0.01687006] [-3.3447423 -1.01730512] [-0.32810867 0.48063528]] [[ 1.90508653 3.530091 ] [-3.00984169 2.66771831] [-3.38237045 -2.9473363 ] [ 2.22463036 -1.37361589]] [[ 2.54391447 3.21299611] [-2.46154315 2.78737555] [-3.38237045 -2.9473363 ] [ 2.8692781 -2.54779119]] [[ 2.6265299 3.10868015] [-2.46154315 2.78737555] [-3.38237045 -2.9473363 ] [ 2.80293085 -2.7315146 ]] # 做图 >>>kMeans(dat,center)

绘图的程序以下：

def draw(data,center): length=len(center) fig=plt.figure # 绘制原始数据的散点图 plt.scatter(data[:,0],data[:,1],s=25,alpha=0.4) # 绘制簇的质心点 for i in range(length): plt.annotate('center',xy=(center[i,0],center[i,1]),xytext=\ (center[i,0]+1,center[i,1]+1),arrowprops=dict(facecolor='red')) plt.show()

K-Means算法的缺陷

k均值算法很是简单且使用普遍，可是其有主要的两个缺陷： 
1. K值须要预先给定，属于预先知识，不少状况下K值的估计是很是困难的，对于像计算所有微信用户的交往圈这样的场景就彻底的没办法用K-Means进行。对于能够肯定K值不会太大但不明确精确的K值的场景，能够进行迭代运算，而后找出Cost Function最小时所对应的K值，这个值每每能较好的描述有多少个簇类。 
2. K-Means算法对初始选取的聚类中心点是敏感的，不一样的随机种子点获得的聚类结果彻底不一样 
3. K均值算法并非很全部的数据类型。它不能处理非球形簇、不一样尺寸和不一样密度的簇，银冠指定足够大的簇的个数是他一般能够发现纯子簇。 
4. 对离群点的数据进行聚类时，K均值也有问题，这种状况下，离群点检测和删除有很大的帮助。

下面对初始质心的选择进行讨论：

拙劣的初始质心

当初始质心是随机的进行初始化的时候，K均值的每次运行将会产生不一样的SSE,并且随机的选择初始质心结果可能很糟糕，可能只能获得局部的最优解，而没法获得全局的最优解。以下图所示：

能够看到程序迭代了4次终止，其获得了局部的最优解，显然咱们能够看到其不是全局最优的，咱们仍然能够找到一个更小的SSE的聚类。

随机初始化的局限

你可能会想到：屡次运行，每次使用一组不一样的随机初始质心，而后选择一个具备最小的SSE的簇集。该策略很是的简单，可是效果可能不是很好，这取决于数据集合寻找的簇的个数。

关于更多，参考《数据挖掘导论》

K-Means优化算法

为了克服K-Means算法收敛于局部最小值的问题，提出了一种二分K-均值(bisecting K-means)

bisecting K-means

算法的伪代码以下：

将全部的点当作是一个簇
当簇小于数目k时
    对于每个簇
        计算总偏差
        在给定的簇上进行K-均值聚类,k值为2 计算将该簇划分红两个簇后总偏差 选择是的偏差最小的那个簇进行划分

完整的Python代码以下：

def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud): m = shape(dataSet)[0] # 这里第一列为类别，第二列为SSE clusterAssment = mat(zeros((m,2))) # 当作一个簇是的质心 centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0] centList =[centroid0] #create a list with one centroid for j in range(m): #计算只有一个簇是的偏差 clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2 # 核心代码 while (len(centList) < k): lowestSSE = inf # 对于每个质心，尝试的进行划分 for i in range(len(centList)): # 获得属于该质心的数据 ptsInCurrCluster =\ dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:] # 对该质心划分红两类 centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas) # 计算该簇划分后的SSE sseSplit = sum(splitClustAss[:,1]) # 没有参与划分的簇的SSE sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1]) print "sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit # 寻找最小的SSE进行划分 # 即对哪个簇进行划分后SSE最小 if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE: bestCentToSplit = i bestNewCents = centroidMat bestClustAss = splitClustAss.copy() lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit # 较难理解的部分 bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit print 'the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit print 'the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss) centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0]) clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE return mat(centList), clusterAssment

 

下面对最后的代码进行解析：

 bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever  bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit

这里是更改其所属的类别，其中bestClustAss = splitClustAss.copy()是进行k-means后所返回的矩阵，其中第一列为类别，第二列为SSE值，由于当k=2是k-means返回的是类别0，1两类，所以这里讲类别为1的更改成其质心的长度，而类别为0的返回的是该簇原先的类别。

举个例子： 
例如：目前划分红了0，1两个簇，而要求划分红3个簇，则在算法进行时，假设对1进行划分获得的SSE最小，则将1划分红了2个簇，其返回值为0，1两个簇，将返回为1的簇改为2，返回为0的簇改为1，所以如今就有0，1，2三个簇了。

centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0]) clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE

其中bestNewCents是k-means的返回簇中心的值，其有两个值，分别是第一个簇，和第二个簇的坐标(k=2)，这里将第一个坐标赋值给 centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0],将另外一个坐标添加到centList中 centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])

运行与结果

>>> from numpy import * >>> import kMeans >>> dat = mat(kMeans.loadDataSet('testSet2.txt')) >>> cent,assment=kMeans.biKmeans(dat,3) sseSplit, and notSplit: 570.722757425 0.0 the bestCentToSplit is: 0 the len of bestClustAss is: 60 sseSplit, and notSplit: 68.6865481262 38.0629506357 sseSplit, and notSplit: 22.9717718963 532.659806789 the bestCentToSplit is: 0 the len of bestClustAss is: 40

 

能够看到进行了两次的划分，第一次最好的划分是在0簇，第二次划分是在1簇。 
可视化以下图所示：

Mini Batch k-Means

在原始的K-means算法中，每一次的划分全部的样本都要参与运算，若是数据量很是大的话，这个时间是很是高的，所以有了一种分批处理的改进算法。 使用Mini Batch（分批处理）的方法对数据点之间的距离进行计算。 Mini Batch的好处：没必要使用全部的数据样本，而是从不一样类别的样本中抽取一部分样原本表明各自类型进行计算。n 因为计算样本量少，因此会相应的减小运行时间n 但另外一方面抽样也必然会带来准确度的降低。