Power Law and Exponential Decay of Inter Contac...

MobiCom’07, September 9–14, 2007：

the observed dichotomy：

Power law：

Fig. 1 shows the respective aggregate CCDFs of inter-contact times in log-log scale. The CCDF values follow a straight line over a range of values spanning the order of a few minutes to half a day, thus suggesting a power law.

Exponential decay：

Carefully examining Fig. 1, we observe that at roughly around half a day, the CCDF has a knee beyond which the decay is abruptly faster. We call this knee the characteristic time.

附加： 天然界与社会生活中,许多科学家感兴趣的事件每每都有一个典型的规模,个体的尺度在这一特征尺度附近变化很小。如，人的身高， 中国成年男子的身高绝大多数都在平均值1.70左右，在一个特征值附件呈现泊松分布。 经济学财富分布知足Pareto Power law tail分布，语言中有词频的幂律分布，城市规模和数量知足幂律分布，音乐中有f分之1噪音（幂律分布）……。一般人们理解幂律分布就是所谓的马太效应，二八原则，即少数人汇集了大量的财富，而大多数人的财富数量都很小，由于胜者通吃的原则。 对“长尾”分布研究作出重要贡献的是Zipf和Pareto。

1932年，语言学家Zipf在研究英文单词出现的频率时，发现若是把单词出现的频率按由大到小的顺序排列，则每一个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系：P(r)～r^(-α)，这种分布就称为Zipf定律，它代表在英语单词中，只有极少数的词被常常使用，而绝大多数词不多被使用。实际上，包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特色。物理世界在至关程度上是具备惰性的，动态过程总能找到能量消耗最少的途径，人类的语言通过千万年的演化，最终也具备了这种特性，词频的差别有助于使用较少的词汇表达尽量多的语义，符合“最小努力原则”。

 19世纪的意大利经济学家帕累托（Pareto）研究了我的收入的统计分布，发现少数人的收入要远多于大多数人的收入，提出了著名的80/20法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。我的收入X不小于某个特定值x的几率与x的常数次幂亦存在简单的反比关系：P[X≥k]～x^(-k)，上式即为Pareto定律。对Pareto分布P[X >= x] ~ x-k，经过求导很容易获得其几率分布密度：p[X = x] ~ x-(k+1) = x-a，a = 1+k。对于Pareto定律，在成熟市场中，金融资产收益率的幂律分布其幂指数约等于3。（通常地，形如y=x^a(a为常数）的函数）

幂律分布是自组织临界系统在混沌边缘，即从稳态过渡到混沌态的一个标志，利用它能够预测这类系统的相位及相变。它认为，由大量相互做用的成分组成的系统会天然地向自组织临界态发展；当系统达到这种状态时，即便是很小的干扰事件也可能引发系统发生一系列灾变。

设想在一平台上缓缓地添加沙粒，一个沙堆逐渐造成。开始时，因为沙堆平矮，新添加的沙粒落下后不会滑得很远。可是，随着沙堆高度的增长，其坡度也不断增长，沙崩的规模也相应增大，但这些沙崩仍然是局部性的。到必定时候，沙堆的坡度会达到一个临界值，这时，新添加一粒沙子（表明来自外界的微小干扰）就可能引发小到一粒或数粒沙子，大到涉及整个沙堆表面全部沙粒的沙崩。这时的沙堆系统处于“自组织临界态”,有趣的是，临界态时沙崩的大小与其出现的频率呈幂律关系。这里所谓的“自组织”是指该状态的造成主要是由系统内部各组成部分间的相互做用产生，而不是由任何外界因素控制或主导所致，这是一个减熵有序化的过程；“临界态”是指系统处于一种特殊的敏感状态，微小的局部变化能够不断被放大、进而扩延至整个系统。自组织临界理论能够解释诸如火山爆发、山体滑坡、岩层造成、日辉耀斑、物种灭绝、交通阻塞、以及金融市场中泡沫崩溃的现象。

幂律分布例子：http://blog.sina.com.cn/s/blog_55954cfb0100pvcw.html